Nos exercícios abaixo, verifique se a função é contínua no número , justifique sua resposta. Faça também um esboço do gráfico.
Passo 1
O enunciado dá uma função definida por
f(x)= dfracx^2+x-2x-1, & xneq 1,[6pt] 2, & x=1,
e pede para verificar se f é contínua em a=1 e fazer um esboço do gráfico. O conteúdo que vamos usar é o conceito de continuidade em um ponto e cálculo de limite.]
Passo 2
Para xneq 1, fatoramos o numerador:
x^2+x-2 = (x+2)(x-1)
Logo, para xneq 1,
f(x) = (x+2)(x-1)x-1 = x+2
Passo 3
Agora calculamos o limite de f(x) quando xto 1. Como para xneq1 temos f(x)=x+2, segue
limxto1f(x) =limxto1(x+2) =1+2=3
Passo 4
Para ser contínua em x=1, precisamos ter
limxto1f(x)=f(1)
Aqui limxto1f(x)=3 mas f(1)=2. Como 3neq2, f não é contínua em x=1. Trata-se de uma descontinuidade removível, pois o limite existe mas difere do valor atribuído.
Passo 5
Esboço do gráfico: é a reta y=x+2 com um furo em (1,3) e um ponto destacado em (1,2). Assim vemos claramente o salto de valor no ponto x=1.