Calcule:
integral duplaD x^2 d x d y onde D=(x, y) in R^2 ; 4 x^2+y^2 <= 1.
Sugestão item (b): Utilize a mundança de variáveis para coordenadas polares: lx=r2 cos theta y=r sen theta com 0 <= theta <= 2 pi e 0 <= r <= 1 Neste caso, |partial(x, y)partial(r, theta)|=r2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla: , onde é a região definida por . Isso está relacionado ao cálculo de integrais múltiplas na matéria de Cálculo Integral. Para resolver, vamos usar uma mudança de variáveis para coordenadas polares adaptadas, o que facilita trabalhar com regiões elípticas como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . A equação representa uma elipse centrada na origem, com semi-eixos de comprimentos na direção e na direção . Integrar sobre uma elipse pode ser complicado, então vamos transformar para coordenadas que se ajustem melhor a essa forma.

Passo 3

Vamos usar a mudança de variáveis sugerida:
x = r2 cos theta y = r sin theta
Aqui, é a distância ao longo dos eixos transformados e é o ângulo. Essa transformação mapeia a elipse para um círculo unitário no sistema - , facilitando a integração.

Passo 4

Precisamos calcular o determinante Jacobiano dessa transformação, que ajusta a área durante a mudança de coordenadas. Foi dado que:
|partial(x, y)partial(r, theta)| = r2
Isso significa que, ao transformar a integral, multiplicaremos a função integranda pelo Jacobiano .

Passo 5

Agora, substituímos x^2 = (r2 cos theta)^2 = r^24 cos^2 theta e integral duplaD x^2 , dx , dy = integral0^2pi integral0^1 r^24 cos^2 theta cdot r2 , dr , dtheta na integral original:
E a integral se torna:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
r^24 cdot r2 = r^38
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^38 cos^2 theta , dr , dtheta

Passo 7

Vamos separar as integrais em 18 ( integral0^1 r^3 , dr ) ( integral0^2pi cos^2 theta , dtheta ) e :
Calculamos cada parte separadamente.

Passo 8

Primeiro, a integral em integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :

Passo 9

Agora, a integral em integral0^2pi cos^2 theta , dtheta :
integral0^2pi 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 [ integral0^2pi 1 , dtheta + integral0^2pi cos 2theta , dtheta ] = 12 (2pi + 0) = pi
Lembrando que , então:

Passo 10

Multiplicando os resultados das integrais:
18 cdot 14 cdot pi = pi32

Resposta

A integral vale .

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