Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
n!3^n

Passo 1

O enunciado dá a sequência an = n!3^n e pede para determinarmos se ela é crescente, decrescente ou não-monótona. O tema é monotonicidade de sequências, e vamos usar o teste do quociente (razão) para isso.

Passo 2

Para verificar monotonicidade pelo teste do quociente, lembramos que se an+1an>1 então a sequência é crescente; se an+1an<1 é decrescente; e se for igual a 1 pode indicar um trecho constante.

Passo 3

Agora calculamos explicitamente o quociente entre termos consecutivos.
an+1an = (n+1)!/3^n+1n!/3^n = n+13

Passo 4

Analisando n+13: para n=1 temos 2/3<1, logo a2 (trecho decrescente); para n=2 temos 3/3=1, logo a3=a2 (trecho constante); e para n>=3 vem (n+1)/3>1, logo an+1>an (trecho crescente a partir de n=3).

Passo 5

Portanto, a sequência decresce de n=1 para n=2, fica constante de n=2 para n=3 e cresce para n>=3. Assim, ela não é monotônica em todo o domínio.

Resposta

não-monótona

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