Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
5^n1+5^2 n

Passo 1

Temos a sequência an=5^n1+5^2n. O conteúdo é monotonicidade de sequências: precisamos decidir se an é crescente, decrescente ou não-monótona. Para isso, vamos comparar termos consecutivos.

Passo 2

Definimos os dois termos que vamos comparar:
an=5^n1+5^2n, an+1=5^n+11+5^2n+2

Passo 3

Calculamos a razão an+1an para verificar se ela é menor ou maior que 1:
an+1an =5^n+11+5^2n+2cdot1+5^2n5^n =51+5^2n1+25cdot5^2n

Passo 4

Para analisar o sinal, faça x=5^2n>0. A razão fica
r=51+x1+25x

Passo 5

Agora verificamos se r<1:
5(1+x)<1+25x Long<=ftrightarrow 5+5x<1+25x Long<=ftrightarrow 4<20x,

Passo 6

Como x=5^2n>=1>tfrac15, a desigualdade 4<20x vale para todo ninN. Logo r<1, ou seja, an+1 para todo n.

Resposta

A sequência é estritamente decrescente.

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