Nos Exercícios de 1 a 16, determine se a seqüência dada é crescente, decrescente ou não-monótona.
2^n1+2^n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência an=tfrac2^n1+2^n é crescente, decrescente ou não-monótona. Esse problema envolve monotonicidade de sequências reais, e vamos usar o teste que compara an+1 com an.

Passo 2

Para verificar, calculamos a diferença entre termos consecutivos. Primeiro escrevemos
an+1-an=2^n+11+2^n+1-2^n1+2^n

Passo 3

Agora simplificamos o numerador quando colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
an+1-an&=2^n+1(1+2^n)-2^n(1+2^n+1)(1+2^n+1)(1+2^n)&=2^n+1+2^2n+1-2^n-2^2n+1(1+2^n+1)(1+2^n)&=2^n+1-2^n(1+2^n+1)(1+2^n)&=2^n(2-1)(1+2^n+1)(1+2^n)&=2^n(1+2^n+1)(1+2^n)>0

Passo 4

Como an+1-an>0 para todo n, concluímos que an+1>an. Portanto a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é estritamente crescente.

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