Calcule integral duplaD^1-x^2-y^2 d A, onde D é o disco x^2+y^2 <= 1 identificando primeiro a integral como o volume de um sólido.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD (1 - x^2 - y^2) ,dA onde D é o disco x^2 + y^2 <= 1. Esse problema envolve integrais duplas e interpretação de volume de um sólido abaixo da parábola z = 1 - x^2 - y^2. Vamos usar coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos a troca x = rcostheta, y = rsintheta e o elemento de área fica dA = r,dr,dtheta. A função a integrar se torna 1 - r^2.

Passo 3

O domínio D vira 0 <= r <= 1 e 0 <= theta <= 2pi. Assim a integral passa a ser
integral0^2pi integral0^1 (1 - r^2),r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^1 (r - r^3),dr = [r^22 - r^44]0^1 = 12 - 14 = 14
Depois fazemos a integral em theta:
integral0^2pi 14 ,dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

pi2

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