Calcule a integral integral duplaD f(x, y) d x d y, onde:
  • D é a região triangular de vértices (0,0),(1,1),(23, 43) e
  • f(x, y)=x y.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a integral dupla integral duplaD x y,dx,dy, sendo D o triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (tfrac23,tfrac43). O conteúdo aqui é integral dupla sobre região triangular, e vamos precisar descobrir as equações das retas que formam os lados do triângulo para parametrizar D.

Passo 2

Achar as retas que limitam o triângulo:
  • Lado entre (0,0) e (1,1): y=x.
  • Lado entre (0,0) e (2/3,4/3): ângulo com a origem dá y=2x.
  • Lado entre (1,1) e (2/3,4/3): tem coeficiente angular -1 e passa por (1,1), logo y=2-x.

Passo 3

Escolher integração em x e dividir o intervalo em duas partes:
Para 0<= x<= 2/3 a região está entre y=x (reta inferior) e y=2x (reta superior).
Para 2/3<= x<=1 a região está entre y=x (reta inferior) e y=2-x (reta superior).

Passo 4

Escrever e calcular a integral em cada parte:
integralx=0^2/3integraly=x^2xx y,dy,dx =integral0^2/3xl[tfracy^22r]y=x^2xdx =integral0^2/3xl(tfrac4x^22-tfracx^22r)dx =integral0^2/3tfrac3x^32dx =32cdot(2/3)^44 =227
integralx=2/3^1integraly=x^2-xx y,dy,dx =integral2/3^1xl[tfracy^22r]y=x^2-xdx =integral2/3^1xl(tfrac(2-x)^22-tfracx^22r)dx =integral2/3^1(2x-2x^2)dx =l[x^2-tfrac23x^3r]2/3^1 =781

Passo 5

Somar os dois resultados: tfrac227+tfrac781=tfrac6+781=tfrac1381.

Resposta

13/81

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