Calcule partial Fpartial x e partial Fpartial y do campo F(x, y)=(x^2+y^2) i+ln (x y) j. Como fica a matriz jacobiana do campo F.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais do campo vetorial vec F(x,y) = (x^2 + y^2),vec i + ln(xy),vec j em relação a x e y, e então montar a matriz jacobiana. O conteúdo é cálculo de derivadas parciais de funções escalares e a definição de matriz jacobiana.

Passo 2

Para a primeira componente F1(x,y)=x^2+y^2, aplicamos a regra do poder: a derivada de x^2 em relação a x é 2x e de y^2 em relação a x é zero. Analogamente em relação a y. Assim obtemos
partial F1partial x = 2x,
partial F1partial y = 2y

Passo 3

Para a segunda componente F2(x,y)=ln(xy), usamos que ln(xy)=ln x + ln y e a derivada de ln u é 1/u. Logo:
partial F2partial x = 1x,
partial F2partial y = 1y

Passo 4

As derivadas parciais definem os vetores
partial vec Fpartial x = 2x 1/x, partial vec Fpartial y = 2y 1/y
Reunindo na matriz jacobiana, cujas colunas são esses vetores, temos:

Resposta

JF(x,y) = 2x & 2y 1x & 1y

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