Calcule a área da região R do plano x y delimitada pelas seguinte curvas:
x=y^2-1 e x=2 y^2-2

Passo 1

O enunciado pede a área da região do plano delimitada pelas parábolas x = y² – 1 e x = 2y² – 2, ou seja, é um problema de área entre curvas no sistema xy. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção, ver qual curva fica à direita/ esquerda e montar a integral apropriada.

Passo 2

Para achar onde as duas curvas se cruzam, igualamos y² – 1 = 2y² – 2. Resolvendo isso:
y^2 - 1 = 2y^2 - 2 implies y^2 = 1 implies y = pm1

Passo 3

Substituindo em x = y² – 1, vemos que em ambos y = ±1, x = 1 - 1 = 0. Logo, os pontos de interseção são (0,1) e (0,-1).

Passo 4

Para y entre -1 e 1, comparamos as abscissas:
l(y^2 - 1r) - l(2y^2 - 2r) = -y^2 + 1 = 1 - y^2 >= 0quando |y|<=1

Passo 5

Isto mostra que, para y∈[-1,1], a parábola x = y² – 1 fica à direita de x = 2y² – 2. Então a área é
integraly=-1^1l[(,y^2-1,)-(,2y^2-2,)],dy = integral-1^1(1 - y^2),dy

Passo 6

Calculando a integral:
integral-1^1(1 - y^2),dy = l[y - y^33r]-1^1 = l(1 - tfrac13r) - l(-1 + tfrac13r) = tfrac23 + tfrac23 = tfrac43

Resposta

tfrac43

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