Calcule a área da região
do plano
delimitada pelas seguinte curvas:
Passo 1
O enunciado pede a área da região do plano delimitada pelas parábolas x = y² – 1 e x = 2y² – 2, ou seja, é um problema de área entre curvas no sistema xy. Vamos precisar encontrar os pontos de interseção, ver qual curva fica à direita/ esquerda e montar a integral apropriada.
Passo 2
Para achar onde as duas curvas se cruzam, igualamos y² – 1 = 2y² – 2. Resolvendo isso:
Passo 3
Substituindo em x = y² – 1, vemos que em ambos y = ±1, x = 1 - 1 = 0. Logo, os pontos de interseção são (0,1) e (0,-1).
Passo 4
Para y entre -1 e 1, comparamos as abscissas:
Passo 5
Isto mostra que, para y∈[-1,1], a parábola x = y² – 1 fica à direita de x = 2y² – 2. Então a área é
Passo 6
Calculando a integral: