Calcule nabla cdot nabla varphi, onde varphi(x, y)=x^2 y.

Passo 1

Temos a função φ(x, y) = x²y. O conteúdo é cálculo de ∇·∇φ, que é a divergência do gradiente de φ (também conhecido como laplaciano). Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais de φ até a segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, calculamos o gradiente de φ, que é o vetor das derivadas parciais de φ:
$$
abla φ = \bigl(\frac{\partial φ}{\partial x},,\frac{\partial φ}{\partial y}\bigr).
abla φ = l(partial φpartial x,,partial φpartial yr) ²
\frac{\partial φ}{\partial x} = 2xy,
\qquad
\frac{\partial φ}{\partial y} = x².
partial φpartial x = 2xy, partial φpartial y = x²
abla φ = (2xy,,x²).
$$

Passo 3

Agora calculamos a divergência do gradiente (o laplaciano):
$$
abla\cdot\nabla φ = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) + \frac{\partial}{\partial y}(x²).
ablacdotnabla φ = partialpartial x(2xy) + partialpartial y(x²)
\frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y,
\qquad
\frac{\partial}{\partial y}(x²) = 0.
partialpartial x(2xy) = 2y, partialpartial y(x²) = 0
abla\cdot\nabla φ = 2y + 0 = 2y.
$$

Resposta

2y

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