Calcule
, onde
.
Passo 1
Temos a função φ(x, y) = x²y. O conteúdo é cálculo de ∇·∇φ, que é a divergência do gradiente de φ (também conhecido como laplaciano). Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais de φ até a segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, calculamos o gradiente de φ, que é o vetor das derivadas parciais de φ:
$$
abla φ = \bigl(\frac{\partial φ}{\partial x},,\frac{\partial φ}{\partial y}\bigr).
\frac{\partial φ}{\partial x} = 2xy,
\qquad
\frac{\partial φ}{\partial y} = x².
\qquad
\frac{\partial φ}{\partial y} = x².
abla φ = (2xy,,x²).
$$
Passo 3
Agora calculamos a divergência do gradiente (o laplaciano):
$$
abla\cdot\nabla φ = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) + \frac{\partial}{\partial y}(x²).
\frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y,
\qquad
\frac{\partial}{\partial y}(x²) = 0.
\qquad
\frac{\partial}{\partial y}(x²) = 0.
abla\cdot\nabla φ = 2y + 0 = 2y.
$$