Calcule
onde
é a região no primeiro quadrante dentro do círculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante dentro do círculo dado por
. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares e a determinação dos limites de integração a partir da equação do círculo.
Passo 2
Em coordenadas polares, fazemos
e
. A equação
fica
Agrupando os termos,
Passo 3
Como
, a fronteira da região é
. No primeiro quadrante temos
e
.
Passo 4
A integral em coordenadas polares usa
e
, então o integrando vira
. Montamos
Passo 5
Calculando a integral interna em
:
Passo 6
Fica então
Passo 7
Usando
, obtemos