Calcule integral duplaD raizx^2+y^2 d A onde D é a região no primeiro quadrante dentro do círculo y^2=2 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaDraizx^2+y^2,dA, onde D é a região do primeiro quadrante dentro do círculo dado por y^2=2x-x^2. O conteúdo principal aqui é a mudança para coordenadas polares e a determinação dos limites de integração a partir da equação do círculo.

Passo 2

Em coordenadas polares, fazemos x=rcostheta e y=rsintheta. A equação y^2=2x-x^2 fica
r^2sin^2theta=2rcostheta-r^2cos^2theta
Agrupando os termos,
r^2(sin^2theta+cos^2theta)-2rcostheta=0Rightarrow r(r-2costheta)=0

Passo 3

Como r>=0, a fronteira da região é r=2costheta. No primeiro quadrante temos 0<=theta<=tfracpi2 e 0<= r<=2costheta.

Passo 4

A integral em coordenadas polares usa raizx^2+y^2=r e dA=r,dr,dtheta, então o integrando vira rcdot r=r^2. Montamos
integral duplaDraizx^2+y^2,dA=integraltheta=0^pi/2integralr=0^2costhetar^2,dr,dtheta

Passo 5

Calculando a integral interna em r:
integral0^2costhetar^2,dr=(2costheta)^33=83cos^3theta

Passo 6

Fica então
integral0^pi/283cos^3theta,dtheta=83integral0^pi/2cos^3theta,dtheta

Passo 7

Usando integral0^pi/2cos^3theta,dtheta=tfrac23, obtemos
83cdot23=169

Resposta

169

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