Seja
onde
é diferenciável com
,
e
. Quanto vale
?
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de $ h(x) = \sqrt{39 + 5 f(8x^{2})} $ em $ x = 1 $, ou seja, $ h’(1) $. Para isso, vamos usar o conceito de derivação, mais especificamente a regra da cadeia, já que a função $ h(x) $ é composta por outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisam ser derivadas. Temos $ h(x) = \sqrt{39 + 5 f(8x^{2})} $. Podemos reescrever isso como:
Para derivar $ h(x) $, usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ h(x) $ em relação a $ x $ é:
Vamos agora derivar a parte interna $ 39 + 5 f(8x^{2}) $.
Passo 4
A derivada de $ 39 $ em relação a $ x $ é zero, então restam:
Derivando $ 8x^{2} $, temos:
Portanto:
Passo 5
Substituindo a derivada encontrada de volta na expressão de $ h’(x) $:
Podemos simplificar:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = 1 $ na expressão de $ h’(x) $:
Sabemos que $ f(8) = 5 $ e $ f’(8) = 16 $, então:
Resposta
$ h’(1) = 80 $