Seja h(x)=raiz39+5 f(8 x^2) onde f: R [0, infty) é diferenciável com f(1)=5, f(8)=5, f^prime(1)=1 / 5 e f^prime(8)=16. Quanto vale h^prime(1) ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada de $ h(x) = \sqrt{39 + 5 f(8x^{2})} $ em $ x = 1 $, ou seja, $ h’(1) $. Para isso, vamos usar o conceito de derivação, mais especificamente a regra da cadeia, já que a função $ h(x) $ é composta por outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisam ser derivadas. Temos $ h(x) = \sqrt{39 + 5 f(8x^{2})} $. Podemos reescrever isso como:
h(x) = raiz39 + 5 f(8x^2)
Para derivar $ h(x) $, usaremos a regra da cadeia, que nos permite derivar funções compostas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de $ h(x) $ em relação a $ x $ é:
h(x)
Vamos agora derivar a parte interna $ 39 + 5 f(8x^{2}) $.

Passo 4

A derivada de $ 39 $ em relação a $ x $ é zero, então restam:
39
Derivando $ 8x^{2} $, temos:
x
Portanto:
ddx(5 f(8x^2)) = 5 cdot f'(8x^2) cdot ddx(8x^2)

Passo 5

Substituindo a derivada encontrada de volta na expressão de $ h’(x) $:
h'(x)
Podemos simplificar:
h'(x) = 12 (39 + 5 f(8x^2))^-12 cdot 80x cdot f'(8x^2)

Passo 6

Agora, substituímos $ x = 1 $ na expressão de $ h’(x) $:
x = 1
Sabemos que $ f(8) = 5 $ e $ f’(8) = 16 $, então:
h'(x)

Resposta

$ h’(1) = 80 $

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