Calcule
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Passo 1
Então, temos que calcular a integral dupla
. Esse exercício envolve Cálculo Integral, mais especificamente Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções com limites variáveis e utilizar técnicas de substituição para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a $ y $:
Aqui, $ x $ é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $.
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
Passo 4
Agora, precisamos mudar os limites de integração de $ y $ para $ u $. Quando $ y = 0 $:
E quando $ y = 4 - x^{2} $:
Então, a integral se transforma em:
Passo 5
Simplificando a expressão, podemos escrever:
Agora, temos uma integral que envolve a função $ \frac{e^{-2u}}{u} $, que não possui uma primitiva elementar. No entanto, podemos representar essa integral em termos da Função Exponencial Integral, denotada por $ Ei(x) $.
Passo 6
A integral da função $ \frac{e^{-2u}}{u} $ é:
onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando os limites de $ u $, temos:
Passo 7
Substituindo de volta na integral dupla, obtemos:
Agora, precisamos integrar isso em relação a $ x $ de 0 a 2:
Passo 8
Podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
Então, temos:
Passo 9
A segunda integral também não possui uma primitiva elementar, mas podemos fazer uma substituição para simplificá-la. Seja $ v = x^{2} $, então:
Alterando os limites de integração:
- Quando $ x = 0 $, $ v = 0 $
- Quando $ x = 2 $, $ v = 4 $
A integral fica:
Passo 10
Novamente, essa integral envolve a Função Exponencial Integral e não possui uma expressão elementar. Portanto, a solução completa da integral dupla é:
Resposta
A integral dupla
é igual a
, onde
é a Função Exponencial Integral.