Calcule integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y d y d x.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral dupla integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y , dy , dx. Esse exercício envolve Cálculo Integral, mais especificamente Integrais Duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções com limites variáveis e utilizar técnicas de substituição para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é a integral em relação a $ y $:
y
Aqui, $ x $ é considerado uma constante porque estamos integrando em relação a $ y $.

Passo 3

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos definir:
u = 4 - y
Então, a derivada de $ u $ em relação a $ y $ é:
u

Passo 4

Agora, precisamos mudar os limites de integração de $ y $ para $ u $. Quando $ y = 0 $:
y
E quando $ y = 4 - x^{2} $:
u
Então, a integral se transforma em:
y = 0

Passo 5

Simplificando a expressão, podemos escrever:
x e^8 integralx^2^4 e^-2uu , du
Agora, temos uma integral que envolve a função $ \frac{e^{-2u}}{u} $, que não possui uma primitiva elementar. No entanto, podemos representar essa integral em termos da Função Exponencial Integral, denotada por $ Ei(x) $.

Passo 6

A integral da função $ \frac{e^{-2u}}{u} $ é:
e^-2uu
onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando os limites de $ u $, temos:
integral e^-2uu , du = -Ei(-2u) + C

Passo 7

Substituindo de volta na integral dupla, obtemos:
x e^8 [ -Ei(-8) + Ei(-2x^2) ]
Agora, precisamos integrar isso em relação a $ x $ de 0 a 2:
x

Passo 8

Podemos separar a integral em duas partes:
- e^8 Ei(-8) integral0^2 x , dx + e^8 integral0^2 x Ei(-2x^2) , dx
A primeira integral é simples:
integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 42 = 2
Então, temos:
-2 e^8 Ei(-8) + e^8 integral0^2 x Ei(-2x^2) , dx

Passo 9

A segunda integral também não possui uma primitiva elementar, mas podemos fazer uma substituição para simplificá-la. Seja $ v = x^{2} $, então:
v = x^2
Alterando os limites de integração:
  • Quando $ x = 0 $, $ v = 0 $
  • Quando $ x = 2 $, $ v = 4 $
A integral fica:
dv = 2x , dx Rightarrow x , dx = dv2

Passo 10

Novamente, essa integral envolve a Função Exponencial Integral e não possui uma expressão elementar. Portanto, a solução completa da integral dupla é:
-2 e^8 Ei(-8) + e^82 integral0^4 Ei(-2v) , dv

Resposta

A integral dupla integral0^2 integral0^4-x^2 x e^2 y4-y , dy , dx é igual a -2 e^8 Ei(-8) + e^82 integral0^4 Ei(-2v) , dv, onde Ei é a Função Exponencial Integral.

Exercícios relacionados