Converta integral0^2 pi integral0^raiz2 integralr^raiz4-r^2 3 r d z d r d theta para:
coordenadas retangulares com a ordem de integração d z d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para converter a integral dada em coordenadas cilíndricas
integral0^2piintegral0^raiz2integralz=r^z=raiz4-r^23r,dz,dr,dtheta
para coordenadas retangulares, com ordem de integração dz,dx,dy. O conteúdo aqui é mudança de coordenadas em integrais triplas, sabendo que em coordenadas cilíndricas r=raizx^2+y^2, dV=dx,dy,dz, e que a região é definida por limites em r,theta,z.

Passo 2

Na coordenada cilíndrica, a região é
0<=theta<=2pi, 0<= r<=raiz2, r<= z<=raiz4-r^2
Em retangulares temos r=raizx^2+y^2, então as desigualdades viram
0<= x^2+y^2<=2, raizx^2+y^2<= z<=raiz4-(x^2+y^2)

Passo 3

Projetando no plano xy, a condição x^2+y^2<=2 dá, para cada y,
-raiz2-y^2<= x<=raiz2-y^2, -raiz2<= y<=raiz2

Passo 4

O integrando original era 3r,dV. Em retangulares r=raizx^2+y^2 e dV=dz,dx,dy, então o integrando fica
3raizx^2+y^2,dz,dx,dy

Passo 5

Juntando tudo na ordem dz,dx,dy, a integral em coordenadas retangulares é
integraly=-raiz2^raiz2 integralx=-raiz2-y^2^raiz2-y^2 integralz=raizx^2+y^2^raiz4-(x^2+y^2) 3raizx^2+y^2,dz,dx,dy

Resposta

Exercícios relacionados