Calcule I=integral duplaD y e^x+y^2 d x d y, sendo D=[-1,1] times[0,1].

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla , onde a região é o retângulo . Isso significa que vamos integrar a função sobre os valores de de a e de de a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração dupla e talvez simplificar a integral aplicando mudança de ordem ou substituição.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em relação a , mantendo constante. A função a ser integrada é . Como é constante em relação a , podemos tratar como uma constante multiplicativa.

Passo 3

A integral em relação a integral-1^1 y e^x + y^2 , dx = y e^y^2 integral-1^1 e^x , dx fica:
Aqui, tiramos de fora da integral porque eles não dependem de .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral-1^1 e^x , dx = e^1 - e^-1 = e - 1e . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão anterior, temos:
y e^y^2 ( e - 1e ) = y e^y^2 ( e - e^-1 )
Podemos simplificar isso agrupando os termos constantes:
y e^y^2 ( e - e^-1 ) = y ( e^y^2 + 1 - e^y^2 - 1 )

Passo 6

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a I = integral0^1 y ( e^y^2 + 1 - e^y^2 - 1 ) , dy de I = integral0^1 y e^y^2 + 1 , dy - integral0^1 y e^y^2 - 1 , dy a :
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
integral y e^y^2 + 1 , dy
Fazendo a substituição 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^y^2 + 1 + C , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 8

Agora, a segunda integral:
integral y e^y^2 - 1 , dy
Fazendo a substituição 12 integral e^v , dv = 12 e^v + C = 12 e^y^2 - 1 + C , então , ou seja, . A integral fica:

Passo 9

Substituindo de volta nas integrais originais:
I = [ 12 e^y^2 + 1 ]0^1 - [ 12 e^y^2 - 1 ]0^1
Calculando os limites para cada parte:
Para a primeira parte:
12 ( e^1^2 + 1 - e^0^2 + 1 ) = 12 ( e^2 - e^1 )
Para a segunda parte:
12 ( e^1^2 - 1 - e^0^2 - 1 ) = 12 ( e^0 - e^-1 ) = 12 ( 1 - 1e )

Passo 10

Agora, juntando tudo:
I = 12 ( e^2 - e ) - 12 ( 1 - 1e ) = 12 e^2 - 12 e - 12 + 12e
Podemos fatorar o ( \frac{1}{2} \ ):
I = 12 ( e^2 - e - 1 + 1e )

Resposta

A integral dupla vale:
I = 12 ( e^2 - e - 1 + 1e )

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