Calcule
, sendo
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla
, onde a região
é o retângulo
. Isso significa que vamos integrar a função
sobre os valores de
de
a
e de
de
a
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração dupla e talvez simplificar a integral aplicando mudança de ordem ou substituição.
Passo 2
Vamos primeiro integrar em relação a
, mantendo
constante. A função a ser integrada é
. Como
é constante em relação a
, podemos tratar
como uma constante multiplicativa.
Passo 3
A integral em relação a
fica:
Aqui, tiramos
de fora da integral porque eles não dependem de
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão anterior, temos:
Podemos simplificar isso agrupando os termos constantes:
Passo 6
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de
a
:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente. Começando com a primeira:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 8
Agora, a segunda integral:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 9
Substituindo de volta nas integrais originais:
Calculando os limites para cada parte:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 10
Agora, juntando tudo:
Podemos fatorar o ( \frac{1}{2} \ ):
Resposta
A integral dupla vale: