Calcule a integral iterada transformando-a, antes, para coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral iterada
transformando para coordenadas polares antes. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de integrais múltiplas e mudanças de coordenadas, especificamente de cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos
variando de 0 a 1, e para cada
,
varia de
até
. Vamos converter essa região para coordenadas polares, onde
e
.
Passo 3
Na coordenada polar, a expressão
simplifica para
. Então, a integral
fica:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração para
e
.
Passo 4
Vamos encontrar os limites para
. Observando a região original,
vai de 0 a 1 e
de
a
. Isso sugere que
varia de 0 a
, pois no ponto onde
,
ou
radianos.
Passo 5
Agora, para cada
, vamos determinar como
varia. O limite inferior de
é quando
, ou seja,
, que já fixamos
. O limite superior vem de
. Substituindo
e
em termos de
e
:
Isso pode ser complicado, mas observando a região, vemos que
varia de 0 a
para
.
Passo 6
Com os limites determinados, a integral em coordenadas polares fica:
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 8
Agora, substituímos na integral e integramos em relação a
:
Para resolver
, usamos a identidade
e fazemos uma substituição.
Passo 9
Fazendo a substituição:
Então,
Voltando a
:
Sabemos que
, então:
Passo 10
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Resposta
O valor da integral é
.