Calcule a integral iterada transformando-a, antes, para coordenadas polares:
I=integral0^1 integraly^1+raiz1-y^2 raizx^2+y^2 d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral iterada transformando para coordenadas polares antes. O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo de integrais múltiplas e mudanças de coordenadas, especificamente de cartesianas para polares. Para isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Temos variando de 0 a 1, e para cada , varia de até . Vamos converter essa região para coordenadas polares, onde e .

Passo 3

Na coordenada polar, a expressão I = integral integral r cdot r , dr , dtheta = integral integral r^2 , dr , dtheta simplifica para . Então, a integral fica:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração para e .

Passo 4

Vamos encontrar os limites para . Observando a região original, vai de 0 a 1 e de a . Isso sugere que varia de 0 a , pois no ponto onde , ou radianos.

Passo 5

Agora, para cada rcostheta = 1 + raiz1 - (rsintheta)^2 , vamos determinar como varia. O limite inferior de é quando , ou seja, , que já fixamos . O limite superior vem de . Substituindo e em termos de e :
Isso pode ser complicado, mas observando a região, vemos que varia de 0 a para .

Passo 6

Com os limites determinados, a integral em coordenadas polares fica:
I = integral0^pi4 integral0^2costheta r^2 , dr , dtheta
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a integral0^2costheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^2costheta = (2costheta)^33 = 8cos^3theta3 :

Passo 8

Agora, substituímos na integral e integramos em relação a I = integral0^pi4 8cos^3theta3 , dtheta = 83 integral0^pi4 cos^3theta , dtheta :
Para resolver , usamos a identidade e fazemos uma substituição.

Passo 9

Fazendo a substituição:
u = sintheta Rightarrow du = costheta , dtheta
Então,
integral cos^3theta , dtheta = integral costheta (1 - sin^2theta) , dtheta = integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C
Voltando a integral0^pi4 cos^3theta , dtheta = [ sintheta - sin^3theta3 ]0^pi4 = ( sinpi4 - sin^3pi43 ) - (0 - 0) :
sinpi4 - sin^3pi43 = raiz22 - (raiz22)^33 = raiz22 - 2raiz283 = raiz22 - raiz212 = 6raiz2 - raiz212 = 5raiz212
Sabemos que , então:

Passo 10

Agora, substituímos de volta na expressão de I = 83 cdot 5raiz212 = 40raiz236 = 10raiz29 :

Resposta

O valor da integral é .

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