Calcule a integral integral duplaD x^4 d A, onde D=(x, y) mid 1 <= x <= e, 0 <= y <= ln x

Passo 1

Enunciado: calcular a integral dupla integral duplaD x^4 ,dA, onde D=(x,y)mid 1<= x<= e,;0<= y<= ln x. O conteúdo envolve integração dupla em coordenadas cartesianas e, em seguida, aplicação de integração por partes.

Passo 2

Escrevemos a integral como iterada. Como o limite de y vai de 0 a ln x, temos:
integral duplaD x^4 ,dA = integralx=1^e l(integraly=0^ln x x^4 ,dyr) dx .

Passo 3

Calculamos a integral interna em y. Como x^4 é constante em relação a y, fica:
integraly=0^ln x x^4 ,dy = x^4 l[yr]0^ln x = x^4 ln x .

Passo 4

Agora precisamos calcular integral1^e x^4 ln x ,dx. Vamos usar integração por partes, escolhendo:
u = ln x, dv = x^4 ,dx implies du = 1x ,dx, v = x^55

Passo 5

Aplicando a fórmula de partes integral u,dv = uv - integral v,du, obtemos:
integral x^4ln x ,dx = x^55ln x - integral x^55 cdot 1x ,dx = x^55ln x - 15 integral x^4 ,dx = x^55ln x - x^525 + C

Passo 6

Avaliação entre os limites de 1 a e: em x=e:
e^55ln e - e^525 = e^55 - e^525 = 4e^525,
em x=1:
1^55ln 1 - 1^525 = 0 - 125 = -125
Subtraindo, fica:
4e^525 - l(-tfrac125r) = 4e^5 + 125

Resposta

4e^5 + 125

Exercícios relacionados