Resolva as equaçōes diferenciais abaixo:
x d yd x+y=1y^2

Passo 1

Nesse exercício temos a equação diferencial de primeira ordem
xdydx + y = 1y^2
O conteúdo envolvido é o método de separação de variáveis e precisamos isolar dy/dx, separar as variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Primeiro, isolamos dy/dx. Subtraindo y de ambos os lados e dividindo por x obtemos:
xdydx = 1y^2 - y
dydx = 1 - y^3x,y^2

Passo 3

Agora separamos as variáveis, ou seja, colocamos todos os termos em y no lado esquerdo e os de x no lado direito:
y^21 - y^3,dy = dxx
Esse passo usa justamente a ideia de separação de variáveis.

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados. Para a integral à esquerda, usamos a substituição u = y^3, o que dá du = 3y^2,dy ou y^2,dy = du/3. Assim:
integral y^21 - y^3,dy = integral 13du1 - u = -13integral duu - 1
E a integral da direita é o logaritmo:
integral dxx = ln|x| + C

Passo 5

Calculamos as integrais:
-13ln|u - 1| = ln|x| + C
Voltando para y com u = y^3:
-13ln|y^3 - 1| = ln|x| + C
Multiplicando por -3) e exponenciando, obtemos
ln|y^3 - 1| = -3ln|x| + C' Rightarrow |y^3 - 1| = Kx^3
onde K = e^C' é constante.

Passo 6

Por fim, podemos eliminar o valor absoluto e escrever a solução geral como
y^3 = 1 + Kx^3
ou seja
y(x) = gl(1 + Kx^3gr)^1/3
onde K é a constante de integração.

Resposta

A solução geral é y(x) = l(1 + tfracCx^3r)^1/3, onde C é constante de integração.

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