Resolva as equaçōes diferenciais abaixo:
Passo 1
Nesse exercício temos a equação diferencial de primeira ordem
O conteúdo envolvido é o método de separação de variáveis e precisamos isolar
, separar as variáveis e integrar cada lado.
Passo 2
Primeiro, isolamos
. Subtraindo
de ambos os lados e dividindo por
obtemos:
Passo 3
Agora separamos as variáveis, ou seja, colocamos todos os termos em
no lado esquerdo e os de
no lado direito:
Esse passo usa justamente a ideia de separação de variáveis.
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados. Para a integral à esquerda, usamos a substituição
, o que dá
ou
. Assim:
E a integral da direita é o logaritmo:
Passo 5
Calculamos as integrais:
Voltando para
com
:
Multiplicando por
e exponenciando, obtemos
onde
é constante.
Passo 6
Por fim, podemos eliminar o valor absoluto e escrever a solução geral como
ou seja
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral é
, onde
é constante de integração.