Utilize coordenadas polares para calcular a integral
, onde
é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos de centro na origem e raios 2 e 4 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular a integral
, onde
é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raio 2 e 4. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares,
e
. Além disso, a área diferencial
em polares é dada por
. A função que vamos integrar,
, também se simplifica em polares.
Passo 3
Vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que
, então a função fica
.
Passo 4
Agora, definimos os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo
varia de
a
. E como a região está entre os círculos de raio 2 e 4, o raio
varia de 2 a 4.
Passo 5
Com tudo isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Fazendo uma substituição
, então
ou
. A integral fica:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Passo 8
Multiplicando os resultados das integrais, temos:
Resposta
A integral
vale: