Utilize coordenadas polares para calcular a integral integral duplaR sin (x^2+y^2) d A, onde R é a região do primeiro quadrante que se encontra entre os círculos de centro na origem e raios 2 e 4 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares. A questão pede para calcular a integral integral duplaR sin (x^2+y^2) d A, onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos de raio 2 e 4. Para isso, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e como ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas polares, x = r cos theta e y = r sin theta. Além disso, a área diferencial dA em polares é dada por r , dr , dtheta. A função que vamos integrar, sin(x^2 + y^2), também se simplifica em polares.

Passo 3

Vamos converter a função sin(x^2 + y^2) para coordenadas polares. Sabemos que x^2 + y^2 = r^2, então a função fica sin(r^2).

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração. Como estamos no primeiro quadrante, o ângulo theta varia de 0 a pi2. E como a região está entre os círculos de raio 2 e 4, o raio r varia de 2 a 4.

Passo 5

Com tudo isso, nossa integral em coordenadas polares fica:
integral duplaR sin (x^2+y^2) d A = integral0^pi2 integral2^4 sin(r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a r:
integral2^4 sin(r^2) cdot r , dr
Fazendo uma substituição u = r^2, então du = 2r , dr ou r , dr = du2. A integral fica:
12 integral4^16 sin(u) , du = 12 [ -cos(u) ]4^16 = 12 ( -cos(16) + cos(4) )

Passo 7

Agora, integramos em relação a theta:
integral0^pi2 dtheta = pi2

Passo 8

Multiplicando os resultados das integrais, temos:
pi2 cdot 12 ( cos(4) - cos(16) ) = pi4 ( cos(4) - cos(16) )

Resposta

A integral integral duplaR sin (x^2+y^2) d A vale:
pi4 ( cos(4) - cos(16) )

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