Calcule integral duplaD(x+y) d x d y, onde D é o triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,0).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla integral duplaD(x+y) , dx , dy, onde D é o triângulo com vértices em (0,0), (0,1) e (1,0). Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões delimitadas. Precisamos entender como descrever a região D e configurar os limites de integração para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. Os vértices do triângulo são (0,0), (0,1) e (1,0). Esse triângulo está no primeiro quadrante do plano xy, formando uma área triangular. Para facilitar a integração, vamos expressar os limites de y em termos de x.

Passo 3

Observando o triângulo, para um valor fixo de x entre 0 e 1, y varia de 0 até a linha que conecta (0,1) a (1,0). A equação dessa linha é y = 1 - x. Assim, para cada x em [0,1], y varia de 0 a 1 - x.

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites determinados:
integralx=0^1 integraly=0^1 - x (x + y) , dy , dx
Aqui, integramos y primeiro, de 0 a 1 - x, e depois x de 0 a 1.

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a y:
integral0^1 - x (x + y) , dy = integral0^1 - x x , dy + integral0^1 - x y , dy
Essas são duas integrais simples que podemos resolver separadamente.

Passo 6

Calculando cada parte:
integral0^1 - x x , dy = x cdot y |0^1 - x = x(1 - x) - x(0) = x(1 - x)
integral0^1 - x y , dy = 12y^2 |0^1 - x = 12(1 - x)^2 - 12(0)^2 = (1 - x)^22

Passo 7

Somando as duas partes:
x(1 - x) + (1 - x)^22 = 2x(1 - x) + (1 - x)^22 = 2x - 2x^2 + 1 - 2x + x^22 = 1 - x^22
Portanto, a integral interna resulta em 1 - x^22.

Passo 8

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^1 1 - x^22 , dx = 12 integral0^1 (1 - x^2) , dx
Fatoramos o 12 para simplificar a integração.

Passo 9

Vamos calcular a integral:
12 [ integral0^1 1 , dx - integral0^1 x^2 , dx ] = 12 [ x |0^1 - x^33 |0^1 ] = 12 [ (1 - 0) - ( 13 - 0 ) ] = 12 ( 1 - 13 ) = 12 cdot 23 = 13

Resposta

O valor da integral dupla integral duplaD(x+y) , dx , dy é 13.

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