Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde é o triângulo com vértices em , e . Aqui, vamos utilizar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões delimitadas. Precisamos entender como descrever a região e configurar os limites de integração para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Os vértices do triângulo são , e . Esse triângulo está no primeiro quadrante do plano xy, formando uma área triangular. Para facilitar a integração, vamos expressar os limites de em termos de .
Passo 3
Observando o triângulo, para um valor fixo de entre 0 e 1, varia de 0 até a linha que conecta a . A equação dessa linha é . Assim, para cada em , varia de 0 a .
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites determinados:
Aqui, integramos primeiro, de 0 a , e depois de 0 a 1.
Passo 5
Vamos calcular a integral interna em relação a :
Essas são duas integrais simples que podemos resolver separadamente.
Passo 6
Calculando cada parte:
integral0^1 - x y , dy = 12y^2 |0^1 - x = 12(1 - x)^2 - 12(0)^2 = (1 - x)^22