Determine a solução do PVI:
r l y ^ prime + ( 1 + x ^ 2 ) e ^ - x y & = 0 y ( 0 ) & = 1 e rl y^prime+y & =1+x^2 y(0) & =2
(Resp. y=e^e^-x(x^2+2 x+2)-2 e y=-e^-x+x^2-2 x+3)

Passo 1

Resumo: Temos dois problemas de valor inicial, ambos EDOs lineares de primeira ordem. No primeiro, a equação é y’+(1+x2)e{-x}y=0 com y(0)=1. No segundo, y’+y=1+x^2 com y(0)=2. O conteúdo principal é o método do fator integrante para resolver EDOs lineares.

Passo 2

Primeiro PVI – fator integrante: Identificamos P(x)=(1+x2)e{-x} e Q(x)=0 em y’+P(x)y=Q(x). O fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral(1+x^2)e^-xdx Calculamos a integral por partes:
integral(1+x^2)e^-xdx=integral e^-xdx+integral x^2e^-xdx=-e^-x-e^-x(x^2+2x)+C=-e^-x(x^2+2x+1)+C' Ajustando a constante, obtemos integral(1+x^2)e^-xdx=-e^-x(x^2+2x+2)+C Logo,
mu(x)=e^-e^-x(x^2+2x+2) Multiplicando a EDO por mu(x) vem
ddx(mu(x)y)=0impliesmu(x)y=C1implies y=C1e^e^-x(x^2+2x+2) Usando y(0)=1 dá C1=e^-2, então
y=e^-2e^e^-x(x^2+2x+2)=e^e^-x(x^2+2x+2)-2

Passo 3

Segundo PVI – fator integrante: Aqui P(x)=1 e Q(x)=1+x^2. O fator integrante é mu(x)=e^integral1,dx=e^x Multiplicando a EDO por e^x
ddx(e^x y)=e^x(1+x^2) Integramos:
integral e^x(1+x^2)dx=integral e^xdx+integral x^2e^xdx=e^x+e^x(x^2-2x+2)=e^x(x^2-2x+3)+C2 Assim
e^x y=e^x(x^2-2x+3)+C2implies y=x^2-2x+3+C2e^-x Impondo y(0)=2 obtém-se 3+C2=2 logo C2=-1. Assim
y=x^2-2x+3-e^-x

Resposta

Para o primeiro PVI: y=e^e^-x(x^2+2x+2)-2. Para o segundo PVI: y=-e^-x+x^2-2x+3.

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