Seja alpha(t)=(-raiz22 cos t+raiz33 sen t, raiz22 cos t+raiz33 sen t,-raiz33 sen t), com t in[0,2 pi].
Determine a curvatura de alpha em um ponto genérico e conclua que alpha tem curvatura constante.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva alpha(t)=l(-tfracraiz22cos t+tfracraiz33sin t,;tfracraiz22cos t+tfracraiz33sin t,;-tfracraiz33sin tr) e pede a curvatura kappa(t). Vamos usar a definição geral de curvatura para curva parametrizada:
kappa(t)=|alpha'(t)timesalpha''(t)||alpha'(t)|^3
Quando descobrimos que |alpha'(t)|=1, isso significa que t é parâmetro de comprimento de arco e então vale kappa(t)=|alpha''(t)|.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiras e segundas coordenada a coordenada. Chamando
A=tfracraiz22 e B=tfracraiz33, temos
alpha'(t)=l(Asin t+Bcos t,;-Asin t+Bcos t,;-Bcos tr),
alpha''(t)=l(Acos t-Bsin t,;-Acos t-Bsin t,;Bsin tr)

Passo 3

Agora mostramos que a velocidade |alpha'(t)| é constante igual a 1. Calculamos cada componente ao quadrado e somamos:
(Asin t+Bcos t)^2+(-Asin t+Bcos t)^2+(-Bcos t)^2 =2A^2sin^2t+2B^2cos^2t+B^2cos^2t =sin^2t+cos^2t=1
Então |alpha'(t)|=1 para todo t.

Passo 4

Como alpha é parametrizada por comprimento de arco, temos
kappa(t)=|alpha''(t)|. Fazendo cálculo análogo ao do passo anterior:
(Acos t-Bsin t)^2+(-Acos t-Bsin t)^2+(Bsin t)^2 =2A^2cos^2t+2B^2sin^2t+B^2sin^2t =cos^2t+sin^2t=1
Logo |alpha''(t)|=1 e portanto kappa(t)=1 para todo t, ou seja, curvatura constante.

Passo 5

A curvatura de alpha é kappa(t)=1, constante. Mantivemos todos os passos claros e mostramos que a curva é de raio 1 em algum plano.

Resposta

kappa(t)=1, ou seja, a curvatura é constante igual a 1.

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