Seja
, com
.
Determine a curvatura de
em um ponto genérico e conclua que
tem curvatura constante.
Determine a curvatura de
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
e pede a curvatura
. Vamos usar a definição geral de curvatura para curva parametrizada:
Quando descobrimos que
, isso significa que
é parâmetro de comprimento de arco e então vale
.
Passo 2
Calculamos as derivadas primeiras e segundas coordenada a coordenada. Chamando
e
, temos
Passo 3
Agora mostramos que a velocidade
é constante igual a 1. Calculamos cada componente ao quadrado e somamos:
Então
para todo
.
Passo 4
Como
é parametrizada por comprimento de arco, temos
. Fazendo cálculo análogo ao do passo anterior:
Logo
e portanto
para todo
, ou seja, curvatura constante.
Passo 5
A curvatura de
é
, constante. Mantivemos todos os passos claros e mostramos que a curva é de raio 1 em algum plano.