Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
a y^prime prime+b y^prime+c y=0
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO e resolva:

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes a y'' + b y' + c y = 0. O conteúdo é resolução de EDO lineares usando a equação característica; vamos precisar formar essa equação e analisar suas raízes.

Passo 2

Para resolver, escrevemos a equação característica associada:
a r^2 + b r + c = 0
Essa é uma equação quadrática em r.

Passo 3

Calculamos o discriminante De da equação característica. A natureza das raízes r1,2 = -b pm raizDe depende de De:
– Se De 0, há duas raízes reais distintas.
– Se De, há uma raiz real dupla.
– Se De, há duas raízes complexas conjugadas.

Passo 4

Analisando cada caso, escrevemos a solução geral:
  1. Caso De 0: raízes reais distintas r1 e r2. y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
    2. Caso De: raiz real dupla r = -b/(2a).
    y(x) = (C1 + C2 x)e^r x
  2. Caso De: raízes r = alpha pm ibeta, onde alpha = -b/(2a) e beta = raiz4ac - b^2/(2a). y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r)

Passo 5

A solução geral da EDO a y'' + b y' + c y = 0 fica, de forma unificada,
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x, & De 0, (C1 + C2 x)e^r x, & De
Aqui r1,2 = -b pm raizb^2 - 4ac2a, r = -tfrac b2a, alpha = -tfrac b2a, beta = tfracraiz4ac - b^22a.

Passo 6

Pronto! Acabamos de descrever o método geral e apresentar a solução para qualquer valor de a, b e c.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x, & se De 0, (C1 + C2 x)e^r x, & se De
com r1,2 = tfrac-b pm raizDe, r = -tfrac b2a, alpha = -tfrac b2a, beta = tfracraiz4ac - b^22a.

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