Calcule
, onde
é o retângulo dado por
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
em
. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em duas integrais simples e conhecer as antiderivadas de
e de
, além da fórmula de potências para
.
Passo 2
Pela Fubini, podemos escrever a integral como uma iterada em
primeiro e depois em
:
$$\iint_{D}(y{2}e{x}+y\sin x),dx,dy
=\int_{0}{1}\Bigl(\int_{0}{\pi/2}(y{2}e{x}+y\sin x),dx\Bigr),dy.
\int_{0}{\pi/2}(y{2}e^{x}+y\sin x),dx
= y{2}\int_{0}{\pi/2}e^{x},dx
- y\int_{0}^{\pi/2}\sin x,dx.
\int_{0}{\pi/2}e{x},dx = e^{\pi/2}-1, \quad
\int_{0}^{\pi/2}\sin x,dx = 1.$$
Logo o integrando em função de fica
.
Logo o integrando em função de
Passo 3
Agora integramos em
de 0 a 1: