Calcule integral duplaD(y^2 e^x+y sen x) d x d y, onde D é o retângulo dado por 0 <= x <= pi / 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral duplaD(y^2e^x+ysin x),dx,dy em D=[0,pi/2]times[0,1]. Vamos usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em duas integrais simples e conhecer as antiderivadas de e^x e de sin x, além da fórmula de potências para y.

Passo 2

Pela Fubini, podemos escrever a integral como uma iterada em x primeiro e depois em y:
$$\iint_{D}(y{2}e{x}+y\sin x),dx,dy
=\int_{0}{1}\Bigl(\int_{0}{\pi/2}(y{2}e{x}+y\sin x),dx\Bigr),dy. integral duplaD(y^2e^x+ysin x),dx,dy =integral0^1l(integral0^pi/2(y^2e^x+ysin x),dxr),dyéã\int_{0}{\pi/2}(y{2}e^{x}+y\sin x),dx
= y{2}\int_{0}{\pi/2}e^{x},dx
  • y\int_{0}^{\pi/2}\sin x,dx. xã\int_{0}{\pi/2}e{x},dx = e^{\pi/2}-1, \quad
\int_{0}^{\pi/2}\sin x,dx = 1.$$
Logo o integrando em função de y fica integral0^pi/2(y^2e^x+ysin x),dx = y^2integral0^pi/2e^x,dx + yintegral0^pi/2sin x,dx.

Passo 3

Agora integramos em y de 0 a 1:
integral0^1l[y^2(e^pi/2-1)+yr]dy = (e^pi/2-1)integral0^1y^2dy + integral0^1y,dy = (e^pi/2-1)cdot13 + 12

Resposta

e^pi/2-13 + 12

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