Calcule
, em que
é o triângulo limitado por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de
sobre o domínio
. A gente está lidando com integração dupla, que é uma técnica usada para calcular volumes sob superfícies em regiões planas. Aqui, a região
é um triângulo limitado pelas retas
,
e
. Vamos precisar entender os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos três limites:
-
: uma linha vertical no ponto . -
: o eixo . -
: uma linha que sobe de origem com inclinação 45°.
Isso forma um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de
e
. Vamos integrar primeiro em
e depois em
:
-
varia de 0 a 1. - Para cada valor de
, varia de 0 até .
Então, nossa integral fica:
Passo 4
Vamos integrar a função
em relação a
, mantendo
constante:
Integrando termo a termo:
Agora, avaliamos de
até
:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Integrando termo a termo:
Avaliando de
até
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.