Calcule integral duplaD[3-x-y] d A, em que D é o triângulo limitado por
x=1, y=0 e y=x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a integral dupla de 3 - x - y sobre o domínio D. A gente está lidando com integração dupla, que é uma técnica usada para calcular volumes sob superfícies em regiões planas. Aqui, a região D é um triângulo limitado pelas retas x = 1, y = 0 e y = x. Vamos precisar entender os limites de integração e aplicar as fórmulas de integrais duplas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. Temos três limites:
  • x = 1: uma linha vertical no ponto x = 1.
  • y = 0: o eixo x.
  • y = x: uma linha que sobe de origem com inclinação 45°.
Isso forma um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1).

Passo 3

Agora, para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de x e y. Vamos integrar primeiro em y e depois em x:
  • x varia de 0 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 até y = x.
Então, nossa integral fica:
integralx=0^1 integraly=0^x (3 - x - y) , dy , dx

Passo 4

Vamos integrar a função 3 - x - y em relação a y, mantendo x constante:
integraly=0^x (3 - x - y) , dy
Integrando termo a termo:
integral (3 - x) , dy - integral y , dy = (3 - x)y - y^22
Agora, avaliamos de y = 0 até y = x:
[(3 - x)x - x^22] - [0 - 0] = (3x - x^2) - x^22 = 3x - 3x^22

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x:
integralx=0^1 (3x - 3x^22) , dx
Integrando termo a termo:
3x^22 - 3x^36 = 3x^22 - x^32
Avaliando de x = 0 até x = 1:
(3(1)^22 - (1)^32) - (0 - 0) = 32 - 12 = 1

Resposta

O valor da integral dupla é 1.

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