Use o método da transformada de Laplace para calcular
para a matriz de coeficientes.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais com uma matriz de coeficientes dada:
A tarefa é usar o método da transformada de Laplace para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $, que é a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em sistemas matriciais e como encontrar a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $ pode ser expressa como $ \mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A} t} \mathbf{X}(0) $, onde $ e^{\mathbf{A} t} $ é a matriz exponencial que queremos encontrar.
A transformada de Laplace nos ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas. Para matrizes, isso funciona de forma semelhante ao caso escalar.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $. Usando a propriedade da transformada de Laplace para derivadas, temos:
Aqui, $ \mathbf{X}(s) $ é a transformada de Laplace de $ \mathbf{X}(t) $, e $ s $ é a variável da frequência na transformada.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar $ \mathbf{X}(s) $:
Onde $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade 3x3. Para resolver para $ \mathbf{X}(s) $, precisamos encontrar a inversa de $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $:
Passo 5
O próximo passo é calcular $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $. Primeiro, vamos escrever $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $:
Como essa matriz é triangular superior, calcular seu determinante e inversa fica mais fácil.
Passo 6
Calculamos o determinante de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $:
Isso mostra que $ s = 3 $ é um autovalor com multiplicidade 3. Agora, para encontrar a inversa, vamos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes triangulares superiores.
Passo 7
A inversa de uma matriz triangular superior $ \mathbf{M} $ com elementos diagonais $ m_{ii} $ é também triangular superior, e seus elementos podem ser calculados da seguinte forma:
Aplicando isso a $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $:
Passo 8
Agora, temos $ \mathbf{X}(s) = (s \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{X}(0) $. Para encontrar $ \mathbf{X}(t) $, que é a solução no domínio do tempo, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada elemento da matriz.
Sabemos que a transformada inversa de $ \frac{1}{(s - a)^n} $ é $ \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{a t} $. Aplicando isso aos elementos da matriz inversa, temos:
Resposta
Portanto, a solução $ e^{\mathbf{A} t} $ é: