Use o método da transformada de Laplace para calcular e^A t t para a matriz de coeficientes.
X^prime=(lll 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3 ) X

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um sistema de equações diferenciais com uma matriz de coeficientes dada:
X^prime = 3 & 1 & 0 0 & 3 & 1 0 & 0 & 3 X
A tarefa é usar o método da transformada de Laplace para calcular $ e^{\mathbf{A} t} $, que é a solução geral desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em sistemas matriciais e como encontrar a matriz exponencial $ e^{\mathbf{A} t} $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a solução geral de $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $ pode ser expressa como $ \mathbf{X}(t) = e^{\mathbf{A} t} \mathbf{X}(0) $, onde $ e^{\mathbf{A} t} $ é a matriz exponencial que queremos encontrar.
A transformada de Laplace nos ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas. Para matrizes, isso funciona de forma semelhante ao caso escalar.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace na equação $ \mathbf{X}’ = \mathbf{A} \mathbf{X} $. Usando a propriedade da transformada de Laplace para derivadas, temos:
X' = A X
Aqui, $ \mathbf{X}(s) $ é a transformada de Laplace de $ \mathbf{X}(t) $, e $ s $ é a variável da frequência na transformada.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar $ \mathbf{X}(s) $:
X(s)
Onde $ \mathbf{I} $ é a matriz identidade 3x3. Para resolver para $ \mathbf{X}(s) $, precisamos encontrar a inversa de $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A}) $:
(s I - A) X(s) = X(0)

Passo 5

O próximo passo é calcular $ (s \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} $. Primeiro, vamos escrever $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $:
(s I - A)^-1
Como essa matriz é triangular superior, calcular seu determinante e inversa fica mais fácil.

Passo 6

Calculamos o determinante de $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $:
s I - A
Isso mostra que $ s = 3 $ é um autovalor com multiplicidade 3. Agora, para encontrar a inversa, vamos usar a fórmula da matriz inversa para matrizes triangulares superiores.

Passo 7

A inversa de uma matriz triangular superior $ \mathbf{M} $ com elementos diagonais $ m_{ii} $ é também triangular superior, e seus elementos podem ser calculados da seguinte forma:
Aplicando isso a $ s \mathbf{I} - \mathbf{A} $:
M

Passo 8

Agora, temos $ \mathbf{X}(s) = (s \mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1} \mathbf{X}(0) $. Para encontrar $ \mathbf{X}(t) $, que é a solução no domínio do tempo, precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace a cada elemento da matriz.
Sabemos que a transformada inversa de $ \frac{1}{(s - a)^n} $ é $ \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{a t} $. Aplicando isso aos elementos da matriz inversa, temos:
X(s) = (s I - A)^-1 X(0)

Resposta

Portanto, a solução $ e^{\mathbf{A} t} $ é:
e^A t

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