Calcule
, onde
é a região limitada por
e
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla
. A região
está delimitada por
,
e
. Esse problema faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente no estudo de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região
e aplicar as técnicas de integração iterativa.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A curva
é uma parábola que abre para a direita. A linha
é o eixo
, e
é uma linha vertical. Portanto, a região
está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para
e
. Observando que
varia de 0 a 4 e, para cada valor de
,
varia de 0 até
, podemos escrever a integral como:
Passo 4
Agora, vamos integrar a função
em relação a
primeiro. A integral de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, precisamos integrar o resultado obtido
em relação a
de 0 a 4:
Passo 6
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição simples. Deixe
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 0 a 4:
Resposta
O valor da integral dupla é
.