Calcule integral duplaD y1+x^2 d x d y, onde D é a região limitada por y=0, y=raizx e x=4.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla . A região está delimitada por , e . Esse problema faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente no estudo de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região e aplicar as técnicas de integração iterativa.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A curva é uma parábola que abre para a direita. A linha é o eixo , e é uma linha vertical. Portanto, a região está entre e , e entre e .

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração para integralx=0^4 integraly=0^raizx y1+x^2 , dy , dx e . Observando que varia de 0 a 4 e, para cada valor de , varia de 0 até , podemos escrever a integral como:

Passo 4

Agora, vamos integrar a função integral0^raizx y1+x^2 , dy = 11+x^2 integral0^raizx y , dy em relação a = 11+x^2 [ y^22 ]0^raizx = 11+x^2 cdot (raizx)^22 = x2(1+x^2) primeiro. A integral de em relação a é:

Passo 5

Agora, precisamos integrar o resultado obtido integral0^4 x2(1+x^2) , dx = 12 integral0^4 x1+x^2 , dx em relação a de 0 a 4:

Passo 6

Para resolver a integral 12 integral 1u cdot du2 = 14 integral 1u , du = 14 ln|u| + C = 14 ln(1+x^2) + C , fazemos uma substituição simples. Deixe , então , ou seja, . Substituindo na integral:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 0 a 4:
14 [ ln(1+4^2) - ln(1+0^2) ] = 14 [ ln(17) - ln(1) ] = 14 ln(17)

Resposta

O valor da integral dupla é .

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