Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x, y)
f(x, y)=raiz9-x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função f(x,y)=raiz9 - x^2 - y^2 e traçar o mapa de curvas de nível para quatro valores de z = f(x,y). O conteúdo envolve superfície em três dimensões e curvas de nível, e vamos precisar entender o domínio de f, a forma geométrica da superfície e a definição de curva de nível f(x,y)=c.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio de f: como há raiz quadrada, precisamos ter 9 - x^2 - y^2 >= 0. Ou seja,
x^2 + y^2 <= 9,
e nisso vemos que f define a parte superior da esfera de raio 3 centrada na origem, porque podemos escrever
x^2 + y^2 + z^2 = 9, z = f(x,y) = raiz9 - x^2 - y^2
Logo, graficamente é um hemisfério superior de raio 3.

Passo 3

Para as curvas de nível, fixamos z = c e resolvemos raiz9 - x^2 - y^2 = c. Elevando ao quadrado, obtemos
x^2 + y^2 = 9 - c^2
Isso mostra que cada curva de nível é um círculo de raio r = raiz9 - c^2 no plano xy.

Passo 4

Escolhemos quatro valores de c no intervalo [0,3]. Por exemplo:
  • c = 0 x^2 + y^2 = 9 (círculo de raio 3).
  • c = 1 x^2 + y^2 = 8 (círculo de raio raiz8).
  • c = 2 x^2 + y^2 = 5 (círculo de raio raiz5).
  • c = 3 x^2 + y^2 = 0 (ponto na origem).

Passo 5

No mapa de curvas de nível, representamos esses quatro círculos concêntricos: os raios são 3, raiz8, raiz5 e 0, correspondendo aos níveis z=0,1,2,3.

Resposta

O gráfico de f(x,y)=raiz9 - x^2 - y^2 é o hemisfério superior de raio 3. As curvas de nível para z=0,1,2,3 são círculos no plano xy dados por:
z=0: x²+y²=9 (raio 3)
z=1: x²+y²=8 (raio √8)
z=2: x²+y²=5 (raio √5)
z=3: x²+y²=0 (ponto)
No plano, traça-se esses círculos concêntricos para obter o mapa de curvas de nível.

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