Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
e traçar o mapa de curvas de nível para quatro valores de
. O conteúdo envolve superfície em três dimensões e curvas de nível, e vamos precisar entender o domínio de
, a forma geométrica da superfície e a definição de curva de nível
.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio de
: como há raiz quadrada, precisamos ter
. Ou seja,
e nisso vemos que
define a parte superior da esfera de raio 3 centrada na origem, porque podemos escrever
Logo, graficamente é um hemisfério superior de raio 3.
Passo 3
Para as curvas de nível, fixamos
e resolvemos
. Elevando ao quadrado, obtemos
Isso mostra que cada curva de nível é um círculo de raio
no plano
.
Passo 4
Escolhemos quatro valores de
no intervalo
. Por exemplo:
-
dá (círculo de raio 3). -
dá (círculo de raio ). -
dá (círculo de raio ). -
dá (ponto na origem).
Passo 5
No mapa de curvas de nível, representamos esses quatro círculos concêntricos: os raios são 3,
,
e 0, correspondendo aos níveis
.
Resposta
O gráfico de
é o hemisfério superior de raio 3. As curvas de nível para
são círculos no plano
dados por:
z=0: x²+y²=9 (raio 3)
z=1: x²+y²=8 (raio √8)
z=2: x²+y²=5 (raio √5)
z=3: x²+y²=0 (ponto)
z=1: x²+y²=8 (raio √8)
z=2: x²+y²=5 (raio √5)
z=3: x²+y²=0 (ponto)
No plano, traça-se esses círculos concêntricos para obter o mapa de curvas de nível.