Calcule a integral iterada transformando-a, antes, para coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla . Estamos lidando com integrais iteradas e queremos transformar essa integral para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. Os limites para vão de a e para de a . Essa região corresponde a um quarto de círculo no terceiro quadrante com raio 1. Em coordenadas polares, isso significa que varia de a e de a .
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função integranda em coordenadas polares. Sabemos que . Então, a função vira .
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é . Então, a integral em coordenadas polares fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral interna em :
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Deixe , então . Quando , e quando , .