Calcule a integral iterada transformando-a, antes, para coordenadas polares:
I=integral-1^0 integral-raiz1-x^2^0 21+raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral dupla . Estamos lidando com integrais iteradas e queremos transformar essa integral para coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como mudar de coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Os limites para vão de a e para de a . Essa região corresponde a um quarto de círculo no terceiro quadrante com raio 1. Em coordenadas polares, isso significa que varia de a e de a .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função integranda em coordenadas polares. Sabemos que I = integralpi^3pi2 integral0^1 21 + r cdot r , dr , dtheta . Então, a função vira .
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é . Então, a integral em coordenadas polares fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral interna em integral0^1 2r1 + r , dr :
integral1^2 2(u - 1)u , du = 2 integral1^2 (1 - 1u) , du
Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição simples. Deixe , então . Quando , e quando , .
Substituindo, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar termo a termo:
2 [ integral1^2 1 , du - integral1^2 1u , du ] = 2 [ (u) gr|1^2 - (ln|u|) gr|1^2 ]
Calculando:
2 [ (2 - 1) - (ln 2 - ln 1) ] = 2 [ 1 - ln 2 ] = 2 - 2ln 2

Passo 6

Agora, voltamos à integral em I = integralpi^3pi2 (2 - 2ln 2) , dtheta . A integral ficou:
I = (2 - 2ln 2) integralpi^3pi2 , dtheta = (2 - 2ln 2) ( 3pi2 - pi )
Como é uma constante, podemos tirar da integral:

Passo 7

Calculando a diferença nos limites de 3pi2 - pi = pi2 :
I = (2 - 2ln 2) cdot pi2 = pi (1 - ln 2)
Então:

Resposta

A integral vale .

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