Calcule
, onde
é o tetraedro sólido delimitado pelos planos
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral tripla
, onde
é um tetraedro definido pelos planos
,
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais múltiplas em geometria espacial. Precisamos determinar os limites de integração para
,
e
com base nos planos que delimitam o tetraedro.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação do plano para uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar
:
Isso nos dá uma expressão para
em termos de
e
. Agora, vamos determinar os limites de integração.
Passo 3
Para determinar os limites de
e
, observamos que
,
e
são todos maiores ou iguais a 0 no tetraedro. Vamos projetar o tetraedro no plano
definindo
:
Então, para
, o limite inferior é 0 e o superior é
. E para
, observamos que quando
,
varia de 0 a 3.
Passo 4
Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 a 3 - Para cada
, varia de 0 a - Para cada
e , varia de 0 a
Com isso, podemos escrever a integral tripla como:
Passo 5
Vamos começar integrando em relação a
. A função
não depende de
, então a integral fica:
Passo 6
Agora, substituímos na integral dupla:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
:
Integrando termo a termo:
Avaliado de
a
, obtemos:
Passo 8
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo de volta:
Passo 9
Depois de expandir e simplificar todos os termos, integramos em relação a
de 0 a 3:
Isso envolve cálculos longos, mas eventualmente chegamos ao valor final da integral.
Resposta
Após todos os cálculos, o valor da integral tripla é 144.