Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção: y1(t)=t^-1 e y2(t)=e^-t
Passo 1
O problema é uma equação diferencial linear de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes: y’’ - y = 0, sujeita às condições y(1)=1 e y’(1)=0. Para resolver, vamos usar a técnica de equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada: r^2 - 1 = 0. Essa equação se resolve facilmente via fatoração ou fórmula de Bhaskara, dando as raízes r=1 e r=-1.
Passo 3
Como as raízes são distintas, a solução geral da equação homogênea é
y(t) = C1 e^t + C2 e^-t,
sendo e^t e e^-t um conjunto fundamental de soluções (linearmente independentes).
Passo 4
Para ver que t^-1 não serve, basta notar que plugando y1(t)=t^-1 na equação y’’-y=0 não se obtém zero; então t^-1 não é solução.
Passo 5
Portanto, o par dado y1(t)=t^-1 e y2(t)=e^-t não é um conjunto fundamental.
Passo 6
O conjunto fundamental correto de soluções é e^t,,e^-t.