l y^prime prime-y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0
Qual dos seguintes pares de soluções forma um conjunto fundamental de soluções desse problema?
Escolha uma opção:
y1(t)=senh t e y2(t)=cosh t

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício nos dá uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - y = 0
com as condições iniciais:
y(1) = 1 e y'(1) = 0
O conteúdo que precisamos aqui envolve equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem e a ideia de conjunto fundamental de soluções. Vamos precisar encontrar soluções da equação e verificar se o par dado forma um conjunto fundamental, ou seja, se elas são lineares e independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' - y = 0
A equação característica associada é:
r^2 - 1 = 0
Resolvendo para $ r $:
r
Então, as soluções gerais da equação diferencial são:
r = pm 1
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos analisar as soluções propostas no exercício:
y1(t) = sinh t e y2(t) = cosh t
Lembrando que as funções hiperbólicas são definidas por:
cosh t = e^t + e^-t2 e sinh t = e^t - e^-t2
Então, podemos ver que $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ são combinações lineares das soluções $ e^{t} $ e $ e^{-t} $ que encontramos na solução geral.

Passo 4

Para verificar se $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ formam um conjunto fundamental de soluções, precisamos checar se elas são linearmente independentes. Uma maneira de fazer isso é calcular o Wronskiano:
y1(t)
Calculando as derivadas:
y2(t)
Então,
W(y1, y2) = y1 & y2 y1' & y2'
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes.

Passo 5

Como $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ são soluções da equação diferencial e são linearmente independentes, elas formam um conjunto fundamental de soluções para o problema dado.

Resposta

Sim, $ y_{1}(t) = \sinh t $ e $ y_{2}(t) = \cosh t $ formam um conjunto fundamental de soluções desse problema.

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