Calcule
onde
é a porção da bola fica no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral múltiplo. A gente precisa calcular a integral tripla
onde $ E $ é a porção da bola que fica no primeiro octante. Isso tudo está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente no tema de integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar os limites de integração de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o primeiro octante é a parte do espaço onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos. Então, $ E $ é a parte da bola onde $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $.
Passo 3
Agora, para facilitar a integral, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são definidas por:
onde:
- $ \rho $ é a distância do ponto à origem,
- $ \phi $ é o ângulo com o eixo $ z $,
- $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $.
O diferencial de volume em esféricas é dado por:
Passo 4
Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. Note que:
Então, a função fica:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $ no primeiro octante. Como estamos falando de uma bola inteira, assumimos que o raio da bola é $ R $. Então:
- $ \rho $ varia de $ 0 $ a $ R $,
- $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ (porque estamos no primeiro octante, acima do plano $ xy $),
- $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ (para cobrir os quadrantes positivos de $ x $ e $ y $).
Passo 6
Substituindo tudo na integral tripla, temos:
Passo 7
Vamos resolver a integral em $ \rho $ primeiro:
Fazendo a substituição $ u = \rho^{3} $, $ du = 3\rho^{2} d\rho $, ou seja, $ \rho^{2} d\rho = \frac{du}{3} $. A integral fica:
Passo 8
Agora, as integrais em $ \phi $ e $ \theta $ são simples:
Resposta
Multiplicando tudo, a integral total é: