Calcule integral duplaE e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 d V onde E é a porção da bola fica no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo integral múltiplo. A gente precisa calcular a integral tripla
integral triplaE e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dV
onde $ E $ é a porção da bola que fica no primeiro octante. Isso tudo está dentro da matéria de Cálculo Multivariável, mais especificamente no tema de integração em coordenadas esféricas. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para esféricas e ajustar os limites de integração de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o primeiro octante é a parte do espaço onde $ x $, $ y $ e $ z $ são todos positivos. Então, $ E $ é a parte da bola onde $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $.

Passo 3

Agora, para facilitar a integral, vamos mudar para coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são definidas por:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
onde:
  • $ \rho $ é a distância do ponto à origem,
  • $ \phi $ é o ângulo com o eixo $ z $,
  • $ \theta $ é o ângulo no plano $ xy $.
O diferencial de volume em esféricas é dado por:
rho

Passo 4

Vamos reescrever a função dentro da integral em coordenadas esféricas. Note que:
x^2 + y^2 + z^2 = rho^2
Então, a função fica:
e^(rho^2)^3 / 2 = e^rho^3

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para $ \rho $, $ \phi $ e $ \theta $ no primeiro octante. Como estamos falando de uma bola inteira, assumimos que o raio da bola é $ R $. Então:
  • $ \rho $ varia de $ 0 $ a $ R $,
  • $ \phi $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ (porque estamos no primeiro octante, acima do plano $ xy $),
  • $ \theta $ varia de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{2} $ (para cobrir os quadrantes positivos de $ x $ e $ y $).

Passo 6

Substituindo tudo na integral tripla, temos:
integral triplaE e^rho^3 , dV = integral0^pi2 integral0^pi2 integral0^R e^rho^3 rho^2 sin phi , drho , dphi , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral em $ \rho $ primeiro:
rho
Fazendo a substituição $ u = \rho^{3} $, $ du = 3\rho^{2} d\rho $, ou seja, $ \rho^{2} d\rho = \frac{du}{3} $. A integral fica:
integral0^R e^rho^3 rho^2 , drho

Passo 8

Agora, as integrais em $ \phi $ e $ \theta $ são simples:
phi
theta

Resposta

Multiplicando tudo, a integral total é:
integral triplaE e^(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 , dV = 13 ( e^R^3 - 1 ) times 1 times pi2 = pi6 ( e^R^3 - 1 )

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