Determinar as seguintes integrais ao longo dos caminhos fechados:
(a) ointC[(2 x y+4) d x+(x^2+z^2) d y+2 z y d z] CC: gamma(t)=(sin t, cos t, pi), t in[0,2 pi]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada da 1-forma
(2xy+4),dx + (x^2+z^2),dy + 2zy,dz
sobre o caminho C dado por gamma(t)=(sin t,cos t,pi), tin[0,2pi]. O conteúdo é integração de formas diferenciais ou de campos conservativos, e vamos precisar usar a parametrização do caminho e as derivadas dx,dy,dz.

Passo 2

Parametrizamos e calculamos as diferenciais. Como x=sin t, y=cos t, z=pi constante, temos:
dx=cos t,dt, dy=-sin t,dt, dz=0

Passo 3

Substituímos na integral:
ointC (2xy+4),dx + (x^2+z^2),dy + 2zy,dz =integral0^2pil[(2sin tcos t+4)cos t + (sin^2 t+pi^2)(-sin t)r]dt

Passo 4

Expandimos e separamos em parcelas:
I=integral0^2pil[2sin tcos^2 t +4cos t -sin^3 t -pi^2sin tr]dt
Cada parcela é integral de funções periódicas ímpares ou de cossenos/senos que somam zero em um período completo. Portanto todas as integrais parciais são zero.

Passo 5

Como cada termo integrado de 0 a 2pi dá zero, concluímos que
ointCcdots =0

Resposta

0

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