Questão 3 (4,0 pontos)
Calcule o Limite usando o Teorema do Confronto ou o Teorema ou o Teorema derivado deste, passo a passo:
lim (x, y) (0,0) tan (x y^2) x^2x^2+4 y^2

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(0,0) tanl(xy^2r),x^2x^2+4y^2
O conteúdo é limite em várias variáveis usando o Teorema do Confronto (Squeeze) e o fato de que
limtto0tan tt=1,
o que nos permite achar uma constante K e um de<a>0 tais que lverttan trvert<= Klvert trvert sempre que lvert trvert<de<a.

Passo 2

Pela aproximação tan tsim t quando tto0, existe de<a>0 e K=2 tais que, se lvert xy^2rvert<de<a, então
l|tan(xy^2)r|<=2,lvert xy^2rvert
Logo, para (x,y) suficientemente próximo de (0,0),
|tan(xy^2),x^2x^2+4y^2| <= 2,|xy^2|,x^2x^2+4y^2 = 2,|x^3y^2|x^2+4y^2

Passo 3

Agora precisamos analisar
|x^3y^2|x^2+4y^2
Note que x^2+4y^2>=4y^2, então
y^2<=x^2+4y^24 Longrightarrow |x^3y^2|<= |x^3|cdotx^2+4y^24
Substituindo em cima,
|x^3y^2|x^2+4y^2 <= |x^3|4

Passo 4

Retornando à desigualdade de lvert f(x,y)rvert, temos para (x,y) perto de (0,0):
|tan(xy^2),x^2x^2+4y^2| <= 2cdot|x^3y^2|x^2+4y^2 <= 2cdot|x^3|4 = |x|^32

Passo 5

Como |x|^32to0 quando (x,y)to(0,0) e
-|x|^32 <= tan(xy^2),x^2x^2+4y^2 <= |x|^32,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
lim(x,y)to(0,0) tanl(xy^2r),x^2x^2+4y^2=0

Resposta

0

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