Calcule a integral
integral duplaN x d A
onde R é a região delimitada por y=4x, y=x e x=3.

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral dupla de $ x $ sobre a região $ N $, que é delimitada pelas curvas $ y = \frac{4}{x} $, $ y = x $ e pela linha $ x = 3 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de integrais duplas e determinar bem os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam para entender melhor a região $ N $. Vamos igualar $ y = x $ e $ y = \frac{4}{x} $:
N
Como estamos considerando $ x = 3 $, que é positivo, focamos no ponto $ x = 2 $.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para $ x $ variando de 2 a 3, o valor de $ y $ varia de $ y = \frac{4}{x} $ até $ y = x $.

Passo 4

Configurando a integral dupla, temos:
integral duplaN x , dA = integralx=2^3 integraly=4x^x x , dy , dx

Passo 5

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ y $:
y

Passo 6

Agora, resolvemos a integral externa em relação a $ x $:
x
integral2^3 (x^2 - 4) , dx = ( x^33 - 4x ) gr|2^3
= ( 273 - 12 ) - ( 83 - 8 ) = (9 - 12) - ( 83 - 243 )

Resposta

O valor da integral dupla é $ \frac{7}{3} $.

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