Calcule a integral
onde R é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: precisamos calcular a integral dupla de $ x $ sobre a região $ N $, que é delimitada pelas curvas $ y = \frac{4}{x} $, $ y = x $ e pela linha $ x = 3 $. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de integrais duplas e determinar bem os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam para entender melhor a região $ N $. Vamos igualar $ y = x $ e $ y = \frac{4}{x} $:
Como estamos considerando $ x = 3 $, que é positivo, focamos no ponto $ x = 2 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para $ x $ variando de 2 a 3, o valor de $ y $ varia de $ y = \frac{4}{x} $ até $ y = x $.
Passo 4
Configurando a integral dupla, temos:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a $ y $:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa em relação a $ x $:
Resposta
O valor da integral dupla é $ \frac{7}{3} $.