Dê o domínio, o conjunto imagem e esboce o gráfico. Em caso de parábolas, determine o vértice: f(x)=x^2+2 x+2

Passo 1

O exercício pede o domínio, o conjunto-imagem e o esboço do gráfico da função quadrática f(x)=x²+2x+2. Aqui o conteúdo é função polinomial do 2º grau: vamos usar que polinômios têm domínio ℝ, completar o quadrado para achar o vértice e analisar a concavidade para obter a imagem.

Passo 2

Como toda função polinomial, o domínio de f é todo o conjunto dos números reais, ou seja, Dom(f)=ℝ.

Passo 3

Para encontrar o vértice, completamos o quadrado:
f(x)=x^2+2x+2=(x+1)^2+1
Da forma acima vemos que o vértice é V=(−1,1).

Passo 4

Como o coeficiente de x² é positivo (a=1>0), a parábola abre para cima e o vértice é ponto de mínimo. Assim o valor mínimo de f é 1, logo Im(f)=[1,∞).

Passo 5

Para esboçar o gráfico, trace o eixo de simetria x=−1, marque o vértice V=(−1,1) e mais alguns pontos, por exemplo f(0)=2 e f(−2)=2, e desenhe a parábola com concavidade para cima passando por esses pontos.

Resposta

Domínio: ℝ. Conjunto-imagem: [1,∞). Vértice: (−1,1). Gráfico: parábola com concavidade para cima, eixo de simetria x=−1, passando por V=(−1,1) e pelos pontos (0,2) e (−2,2).

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