Estude a variação do sinal e esboce o gráfico: f(x)=(2 x+3)(x+1)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação do sinal e esboçar o gráfico da função f(x)=(2x+3)(x+1). O conteúdo envolve estudo de sinais de função polinomial e esboço de parábola. Vamos precisar encontrar as raízes, montar o quadro de sinais e identificar concavidade e vértice.

Passo 2

Encontrar as raízes de f(x)=0 igualando cada fator a zero: 2x+3=0 x=-3/2 e x+1=0 x=-1. Esses são os pontos onde o gráfico cruza o eixo x.

Passo 3

Analisar o sinal de f(x) nos intervalos definidos pelas raízes:
  • Para x<-3/2: 2x+3<0 e x+1<0, logo f(x)>0.
  • Para -3/2: 2x+3>0 e x+1<0, logo f(x)<0.
  • Para x>-1: 2x+3>0 e x+1>0, logo f(x)>0.

Passo 4

Reconhecer que f(x) é um polinômio de grau 2 com coeficiente líder positivo (lado quadrático 2x^2), então a parábola abre para cima. O vértice tem abscissa na média das raízes:
xv=-3/2+(-1)2=-54,
calcula-se
yv=fl(-tfrac54r)=l(2cdot(-tfrac54)+3r)l(-tfrac14r)=tfrac12cdot(-tfrac14)=-tfrac18

Passo 5

Esboçar o gráfico desenhando o eixo x, marcando as raízes em -3/2 e -1, o vértice em (-5/4,-1/8), e traçando a parábola que abre para cima, positiva em (-infty,-3/2) e (-1,infty) e negativa em (-3/2,-1).

Resposta

A função satisfaz
f(x)>0 em (-infty,-3/2) e (-1,infty), f(x)<0 em (-3/2,-1)
O gráfico é uma parábola que abre para cima, com zeros em -3/2 e -1 e vértice em (-5/4,-1/8).

Exercícios relacionados