Calcule
, se:
(g)
e
(g)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
e
. O conteúdo principal é integral dupla em região retangular e vamos precisar de integração iterada, divisão de polinômios (para simplificar frações) e depois integrar funções logarítmicas.
Passo 2
Escrevemos
como integral iterada integrando primeiro em
:
Passo 3
Para a integral interna em
, façamos divisão de polinômios: seja
. Dividindo
por
obtemos
Assim
Passo 4
Calculando as duas partes:
Logo a integral interna é
Passo 5
Substituindo em
temos
Expandindo o logaritmo:
Passo 6
Para calcular
, dividimos em duas integrais:
Calculamos
usando a substituição
e
por partes, obtendo fórmulas fechadas em termos de
.
Passo 7
Após essas contas (verificando com polinômio residual e logaritmos), chega-se a
Passo 8
Finalmente
que se simplifica usando
em