Calcule integral duplaR f(x, y) d x d y, se:
(g) f(x, y)=(x+y)^2(x+2 y+1)(y+1) e R= [0,2] times[0,1]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla I=integral duplaR f(x,y),dx,dy onde f(x,y)=(x+y)^2(x+2y+1)(y+1) e R=[0,2]times[0,1]. O conteúdo principal é integral dupla em região retangular e vamos precisar de integração iterada, divisão de polinômios (para simplificar frações) e depois integrar funções logarítmicas.

Passo 2

Escrevemos I como integral iterada integrando primeiro em x:
I=integraly=0^1integralx=0^2(x+y)^2(x+2y+1)(y+1),dx,dy =integral0^11y+1l(integral0^2(x+y)^2x+2y+1,dxr)dy

Passo 3

Para a integral interna em x, façamos divisão de polinômios: seja a=2y+1. Dividindo (x+y)^2 por x+a obtemos
(x+y)^2x+a=x-1+(y+1)^2x+a
Assim
integral0^2(x+y)^2x+2y+1,dx =integral0^2(x-1),dx+(y+1)^2integral0^2dxx+2y+1

Passo 4

Calculando as duas partes:
integral0^2(x-1),dx=0,
integral0^2dxx+2y+1=l[ln(x+2y+1)r]0^2=ln2y+32y+1
Logo a integral interna é
J(y)=integral0^2(x+y)^2x+2y+1,dx=(y+1)^2ln2y+32y+1

Passo 5

Substituindo em I temos
I=integral0^1(y+1)^2y+1ln2y+32y+1,dy=integral0^1(y+1)ln2y+32y+1,dy
Expandindo o logaritmo:
I=integral0^1(y+1)l[ln(2y+3)-ln(2y+1)r]dy =integral0^1(y+1)ln(2y+3),dy-integral0^1(y+1)ln(2y+1),dy

Passo 6

Para calcular K(k)=integral0^1(y+1)ln(2y+k),dy, dividimos em duas integrais:
A1=integral0^1ln(2y+k),dy,
A2=integral0^1yln(2y+k),dy
Calculamos A1 usando a substituição u=2y+k e A2 por partes, obtendo fórmulas fechadas em termos de k.

Passo 7

Após essas contas (verificando com polinômio residual e logaritmos), chega-se a
K(k)=k+32ln(k+2)-k2ln k-k^28lnk+2k+k-54

Passo 8

Finalmente
I=K(3)-K(1) =l(3ln5-tfrac32ln3-tfrac98lntfrac53-tfrac12r) -l(2ln3-tfrac18ln3-1r)
que se simplifica usando lntfrac53=ln5-ln3 em
I=158ln5-94ln3+12

Resposta

I=158ln5-94ln3+12

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