Dado o problema de valor inicial (PVI)
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).
Passo 1
O enunciado pede para achar o maior intervalo em que a solução do PVI de segunda ordem
é garantida e única. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs, e vamos precisar mostrar que podemos reescrever a equação como um sistema de primeira ordem cujas funções envolvidas são contínuas e Lipschitz em todo o domínio.
Passo 2
Primeiro transformamos a EDO de segunda ordem em um sistema de duas equações de primeira ordem, definindo
Então
Esse procedimento é padrão para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf.
Passo 3
Agora examinamos as funções do lado direito do sistema,
Observe que ambas são contínuas em
para todo
e satisfazem condição de Lipschitz em
globalmente (pois dependem linearmente de
e
é limitado e contínuo).
Passo 4
Pelo Teorema de Existência e Unicidade, como
e
são contínuas em
e globalmente Lipschitz em
, a solução do PVI existe e é única em todo intervalo maximal de
onde essas condições valem. Aqui elas valem para qualquer
.
Resposta
O maior intervalo de existência e unicidade é t \in (-\infty,\infty).