Dado o problema de valor inicial (PVI)
y^prime prime+2 y^prime=3+4 sin (2 t), y(0)=1 e y^prime(0)=2
(b) Determine o maior intervalo no qual sua solução certamente existe (e é única).

Passo 1

O enunciado pede para achar o maior intervalo em que a solução do PVI de segunda ordem
y'' + 2y' = 3 + 4,sin(2t), y(0)=1,;y'(0)=2
é garantida e única. O conteúdo aqui é o Teorema de Existência e Unicidade para EDOs, e vamos precisar mostrar que podemos reescrever a equação como um sistema de primeira ordem cujas funções envolvidas são contínuas e Lipschitz em todo o domínio.

Passo 2

Primeiro transformamos a EDO de segunda ordem em um sistema de duas equações de primeira ordem, definindo
y1 = y, y2 = y'
Então
y1' = y2, y2' = -2y2 + 3 + 4sin(2t)
Esse procedimento é padrão para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade de Picard–Lindelöf.

Passo 3

Agora examinamos as funções do lado direito do sistema,
f1(t,y1,y2) = y2, f2(t,y1,y2) = -2y2 + 3 + 4sin(2t)
Observe que ambas são contínuas em t,y1,y2 para todo tin R e satisfazem condição de Lipschitz em (y1,y2) globalmente (pois dependem linearmente de y2 e sin(2t) é limitado e contínuo).

Passo 4

Pelo Teorema de Existência e Unicidade, como f1 e f2 são contínuas em t e globalmente Lipschitz em (y1,y2), a solução do PVI existe e é única em todo intervalo maximal de t onde essas condições valem. Aqui elas valem para qualquer tin R.

Resposta

O maior intervalo de existência e unicidade é t \in (-\infty,\infty).

Exercícios relacionados