Usando a transformada de Laplace, resolva do PVI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
, e
é a função degrau de Heaviside que ‘liga’ a função
a partir de
. Vamos precisar usar propriedades da Transformada de Laplace para lidar com derivadas e com a função degrau.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de
é:
E a Transformada de Laplace de
é simplesmente
. Então, aplicando a transformada na equação inteira:
Passo 3
Vamos substituir os valores iniciais
e
na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito,
. Sabemos que:
Mas nesse caso, como
ativa
a partir de
, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por um degrau:
Então,
E sabemos que:
Então,
Passo 5
Voltando à nossa equação transformada:
Vamos isolar
:
Então,
Passo 6
Agora, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. Vamos separar as duas partes:
-
: Sabemos que . Aqui, , então:
-
: Essa parte envolve a função degrau e pode ser tratada usando a segunda propriedade de deslocamento na Transformada de Laplace. Vamos chamar essa parte de :
A Transformada inversa será
, onde
é a transformada inversa de
. Para encontrar
, vamos usar frações parciais.
Passo 7
Vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação,
. Substituindo na segunda:
Então,
Passo 8
Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
Sabemos que:
Então,
Passo 9
Voltando à parte
:
A Transformada inversa será:
Simplificando as funções trigonométricas usando identidades:
Então,
Passo 10
Finalmente, juntando as duas partes da solução:
Resposta
A solução do PVI é: