Usando a transformada de Laplace, resolva do PVI:
y^prime prime+4 y=u2 pi(t) sen t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a Transformada de Laplace para resolver uma equação diferencial de segunda ordem. A equação que temos é:
y'' + 4y = u2pi(t) sin t, y(0) = 1, y'(0) = 0
Aqui, y'' é a segunda derivada de y em relação ao tempo t, e u2pi(t) é a função degrau de Heaviside que ‘liga’ a função sin t a partir de t = 2pi. Vamos precisar usar propriedades da Transformada de Laplace para lidar com derivadas e com a função degrau.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de y''(t) é:
Ly''(t) = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
E a Transformada de Laplace de 4y(t) é simplesmente 4Y(s). Então, aplicando a transformada na equação inteira:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 4 Y(s) = Lu2pi(t) sin t

Passo 3

Vamos substituir os valores iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0 na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 + 4 Y(s) = Lu2pi(t) sin t
Simplificando:
(s^2 + 4) Y(s) - s = Lu2pi(t) sin t

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace do lado direito, Lu2pi(t) sin t. Sabemos que:
Lua(t) f(t) = e^-a s Lf(t + a)
Mas nesse caso, como u2pi(t) ativa sin t a partir de t = 2pi, usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções multiplicadas por um degrau:
Lua(t) f(t) = e^-a s Lf(t)
Então,
Lu2pi(t) sin t = e^-2pi s cdot Lsin t
E sabemos que:
Lsin t = 1s^2 + 1
Então,
Lu2pi(t) sin t = e^-2pi ss^2 + 1

Passo 5

Voltando à nossa equação transformada:
(s^2 + 4) Y(s) - s = e^-2pi ss^2 + 1
Vamos isolar Y(s):
(s^2 + 4) Y(s) = s + e^-2pi ss^2 + 1
Então,
Y(s) = ss^2 + 4 + e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4)

Passo 6

Agora, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace para encontrar y(t). Vamos separar as duas partes:
  1. ss^2 + 4: Sabemos que L^-1ss^2 + a^2 = cos(a t). Aqui, a = 2, então:
L^-1ss^2 + 4 = cos(2 t)
  1. e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4): Essa parte envolve a função degrau u2pi(t) e pode ser tratada usando a segunda propriedade de deslocamento na Transformada de Laplace. Vamos chamar essa parte de F(s):
F(s) = e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4)
A Transformada inversa será u2pi(t) cdot f(t - 2pi), onde f(t) é a transformada inversa de 1(s^2 + 1)(s^2 + 4). Para encontrar f(t), vamos usar frações parciais.

Passo 7

Vamos decompor 1(s^2 + 1)(s^2 + 4) em frações parciais:
1(s^2 + 1)(s^2 + 4) = As^2 + 1 + Bs^2 + 4
Multiplicando ambos os lados por (s^2 + 1)(s^2 + 4):
1 = A(s^2 + 4) + B(s^2 + 1)
Simplificando:
1 = (A + B)s^2 + (4A + B)
Igualando os coeficientes:
A + B = 0 4A + B = 1
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação, B = -A. Substituindo na segunda:
4A - A = 1 3A = 1 A = 13 B = -13
Então,
1(s^2 + 1)(s^2 + 4) = 1/3s^2 + 1 - 1/3s^2 + 4

Passo 8

Agora, aplicando a Transformada Inversa de Laplace:
f(t) = 13 L^-11s^2 + 1 - 13 L^-11s^2 + 4
Sabemos que:
L^-11s^2 + a^2 = sin(a t)a
Então,
f(t) = 13 sin t - 13 cdot sin(2 t)2 = 13 sin t - 16 sin(2 t)

Passo 9

Voltando à parte F(s):
F(s) = e^-2pi s(s^2 + 1)(s^2 + 4)
A Transformada inversa será:
u2pi(t) cdot f(t - 2pi) = u2pi(t) [13 sin(t - 2pi) - 16 sin(2(t - 2pi))]
Simplificando as funções trigonométricas usando identidades:
sin(t - 2pi) = sin t sin(2(t - 2pi)) = sin(2 t)
Então,
F(t) = u2pi(t) [13 sin t - 16 sin(2 t)]

Passo 10

Finalmente, juntando as duas partes da solução:
y(t) = cos(2 t) + u2pi(t) [13 sin t - 16 sin(2 t)]

Resposta

A solução do PVI é:
y(t) = cos(2 t) + u2pi(t) ( 13 sin t - 16 sin(2 t) )

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