Em cada item, use a regra da cadeia para calcular df / dt (escreva a resposta mantendo as variáveis originais, não é necessário substituir tudo em termos de t).
f(x, y, z)=raizx^2+y^2+z^2, x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3.

Passo 1

Temos a função f(x,y,z)=raizx^2+y^2+z^2 e as parametrizações x(t)=t, y(t)=t^2, z(t)=t^3. O conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções de várias variáveis, portanto vamos precisar das derivadas parciais de f e das derivadas de x(t), y(t) e z(t).

Passo 2

As derivadas parciais de f em relação a x,y,z são dadas por:
fx=xraizx^2+y^2+z^2, fy=yraizx^2+y^2+z^2, fz=zraizx^2+y^2+z^2

Passo 3

Derivando as funções de t obtemos:
x'(t)=1, y'(t)=2t, z'(t)=3t^2

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia,
dfdt=fx,x'(t)+fy,y'(t)+fz,z'(t)

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x,y,z:
dfdt=xraizx^2+y^2+z^2cdot1+yraizx^2+y^2+z^2cdot2t+zraizx^2+y^2+z^2cdot3t^2

Passo 6

Fatorando o denominador e agrupando termos no numerador, chegamos a:

Resposta

dfdt=x+2t,y+3t^2,zraizx^2+y^2+z^2

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