Esboce a região de integração e calcule a integral.
integral1^4 integral0^raizx 32 e^y / raizx d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral1^4 integral0^raizx tfrac32 e^y/raizx,dy,dx, ou seja, é conteúdo de integrais iteradas em coordenadas cartesianas. Vamos precisar entender a região de integração no plano (x,y) e usar a fórmula de antiderivada de uma exponencial para integrar em y primeiro e depois em x.

Passo 2

A região D está definida por 1 <= x <= 4 e 0 <= y <= raizx. Se esboçarmos, vemos que é a faixa vertical limitada pelas retas x=1 e x=4, abaixo da curva y=raizx e acima do eixo y=0.

Passo 3

Para integrar em y, usamos integral e^a y dy = tfrac1a e^a y. Aqui a=1/raizx, logo:
integral0^raizx 32 e^y/raizx,dy = 32 cdot gl(1tfrac1raizxgr)l[e^y/raizxr]0^raizx = 32 raizxl(e^1-1r)

Passo 4

Agora integramos em x:
integral1^4 32raizx(e-1),dx = 3(e-1)2integral1^4 x^1/2,dx
Calculando a integral de x^1/2:
integral1^4 x^1/2,dx = l[tfrac23x^3/2r]1^4 = tfrac23(8-1)=tfrac143
Multiplicando:
3(e-1)2cdot 143 = 7(e-1)

Resposta

7( e - 1 )

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