Calcule integral duplaR(1+4 x y^2) d A em que R=(x, y) mid 1 <= x <= 2,0 <= y <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que manda! O problema pede pra calcular integral duplaR(1+4 x y^2) d A, onde a região R é um retângulo definido por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1. Isso faz parte do estudo de integrais múltiplas, onde a gente integra uma função em uma área específica. Vamos precisar usar as técnicas de integração em duas variáveis, escolhendo a ordem certa para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a integral dupla pode ser resolvida integrando primeiro em uma variável e depois na outra. Aqui, vamos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Então, nossa integral fica assim:
integral1^2 integral0^1 (1 + 4xy^2) dy , dx
Isso significa que vamos calcular a integral de y de 0 a 1 para cada valor de x entre 1 e 2.

Passo 3

Vamos começar integrando a função 1 + 4xy^2 em relação a y. Isso dá:
integral0^1 (1 + 4xy^2) dy = integral0^1 1 , dy + 4x integral0^1 y^2 , dy
Aqui, separamos a integral em duas partes para facilitar.

Passo 4

Agora, calculamos cada parte separadamente. A primeira integral é simples:
integral0^1 1 , dy = y g|0^1 = 1 - 0 = 1
A segunda integral envolve y^2:
4x integral0^1 y^2 , dy = 4x ( y^33 ) g|0^1 = 4x ( 13 - 0 ) = 4x3

Passo 5

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
1 + 4x3
Isso simplifica a expressão dentro da integral em relação a x.

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a x de 1 a 2:
integral1^2 (1 + 4x3) dx = integral1^2 1 , dx + 43 integral1^2 x , dx
De novo, separamos a integral para facilitar.

Passo 7

Calculamos cada parte separadamente:
integral1^2 1 , dx = x g|1^2 = 2 - 1 = 1
E para a segunda integral:
43 integral1^2 x , dx = 43 ( x^22 ) g|1^2 = 43 ( 42 - 12 ) = 43 ( 32 ) = 2

Passo 8

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
1 + 2 = 3

Resposta

O valor da integral é 3.

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