Calcule
em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
, onde a região
é definida por
e
. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração, como substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Podemos escrever:
Aqui, vamos integrar em relação a
primeiro e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos focar na integral interna:
. Observamos que
é tratado como uma constante nessa parte da integração porque estamos integrando em relação a
.
Passo 4
Para integrar
em relação a
, vamos usar uma substituição. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é
, ou
. Precisamos também mudar os limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 5
Substituindo na integral, temos:
Simplificando, fica:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
em relação a
. Isso é feito por integração por partes. Seja:
-
então -
então
A fórmula de integração por partes é:
Aplicando isso:
Passo 7
Voltando à nossa integral:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 8
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Vamos dividir essa integral em duas partes:
Passo 9
Para a primeira integral, fazemos outra substituição: seja
, então
, ou
. Mas notamos que:
Avaliando de 0 a 1:
Então, a primeira parte da integral é 0.
Passo 10
Para a segunda integral,
, fazemos a substituição
, então
, ou
. Observamos que:
Mas como
, temos
, e
, então:
A integral de
de 0 a
é conhecida como a função seno integral,
.
Passo 11
Portanto, a integral total é:
Onde
.
Resposta
A integral vale aproximadamente
.