Calcule integral duplaR x y sen(x^2 y) d A em que R=(x, y) mid 0 <= x <= 1,0 <= y <= pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR x y sin(x^2 y) , dA, onde a região R é definida por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= pi. Isso envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais duplas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração, como substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Isso significa que vamos integrar uma variável de cada vez. Podemos escrever:
integralx=0^1 integraly=0^pi x y sin(x^2 y) , dy , dx
Aqui, vamos integrar em relação a y primeiro e depois em relação a x.

Passo 3

Vamos focar na integral interna: integral0^pi x y sin(x^2 y) , dy. Observamos que x é tratado como uma constante nessa parte da integração porque estamos integrando em relação a y.

Passo 4

Para integrar x y sin(x^2 y) em relação a y, vamos usar uma substituição. Seja u = x^2 y. Então, a derivada de u em relação a y é du = x^2 dy, ou dy = dux^2. Precisamos também mudar os limites de integração:
  • Quando y = 0, u = 0.
  • Quando y = pi, u = x^2 pi.

Passo 5

Substituindo na integral, temos:
integralu=0^x^2 pi x cdot ux^2 sin(u) cdot dux^2 = integral0^x^2 pi ux sin(u) , du
Simplificando, fica:
1x integral0^x^2 pi u sin(u) , du

Passo 6

Agora, precisamos integrar u sin(u) em relação a u. Isso é feito por integração por partes. Seja:
  • a = u então da = du
  • db = sin(u) , du então b = -cos(u)
A fórmula de integração por partes é:
integral a , db = a b - integral b , da
Aplicando isso:
integral u sin(u) , du = -u cos(u) + integral cos(u) , du = -u cos(u) + sin(u) + C

Passo 7

Voltando à nossa integral:
1x [ -u cos(u) + sin(u) ]0^x^2 pi
Substituindo os limites:
1x [ -x^2 pi cos(x^2 pi) + sin(x^2 pi) - (0 + 0) ] = 1x [ -x^2 pi cos(x^2 pi) + sin(x^2 pi) ]
Simplificando:
-x pi cos(x^2 pi) + sin(x^2 pi)x

Passo 8

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a x de 0 a 1:
integral0^1 ( -x pi cos(x^2 pi) + sin(x^2 pi)x ) dx
Vamos dividir essa integral em duas partes:
  1. integral0^1 -x pi cos(x^2 pi) , dx
  2. integral0^1 sin(x^2 pi)x , dx

Passo 9

Para a primeira integral, fazemos outra substituição: seja v = x^2 pi, então dv = 2x pi , dx, ou dx = dv2x pi. Mas notamos que:
integral -x pi cos(x^2 pi) , dx = -12 integral cos(v) , dv = -12 sin(v) + C = -12 sin(x^2 pi) + C
Avaliando de 0 a 1:
-12 sin(pi) + 12 sin(0) = 0
Então, a primeira parte da integral é 0.

Passo 10

Para a segunda integral, integral0^1 sin(x^2 pi)x , dx, fazemos a substituição w = x^2 pi, então dw = 2x pi , dx, ou dx = dw2x pi. Observamos que:
integral sin(x^2 pi)x , dx = integral sin(w)x cdot dw2x pi = 12 pi integral sin(w) , dwx^2
Mas como w = x^2 pi, temos x = raizwpi, e x^2 = wpi, então:
12 pi integral sin(w) cdot piw , dw = 12 integral sin(w)w , dw
A integral de sin(w)w de 0 a pi é conhecida como a função seno integral, Si(pi).

Passo 11

Portanto, a integral total é:
0 + 12 Si(pi) = 12 Si(pi)
Onde Si(pi) approx 1.85194.

Resposta

A integral vale aproximadamente 0.92597.

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