(2,5) Calcule integral duplaR(17 x+130 y) d A onde R é a região que está à esquerda do eixo y e entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR(17x+130y),dA onde R é a região “meia-lua” à esquerda do eixo y entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4. Vamos usar integrais duplas em coordenadas polares para aproveitar a simetria e a forma circular da região.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. A região R corresponde a 1<= r<=2 e ângulos theta de tfracpi2 até tfrac3pi2 (metade esquerda). Assim a integral vira
integraltheta=pi/2^3pi/2integralr=1^2l(17,rcostheta+130,rsinthetar),r,dr,dtheta

Passo 3

Podemos separar a integral em duas partes e fatorar o r^2:
integral1^2r^2,dr;integralpi/2^3pi/2l(17costheta+130sinthetar),dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a parte angular:
integralpi/2^3pi/217costheta,dtheta = 17l[sinthetar]pi/2^3pi/2 =17(-1-1)=-34,
integralpi/2^3pi/2130sintheta,dtheta = -130l[costhetar]pi/2^3pi/2 =-130(0-0)=0

Passo 5

Agora a parte radial:
integral1^2r^2,dr = l[tfracr^33r]1^2 = tfrac83-tfrac13=tfrac73

Passo 6

Multiplicando as duas partes obtemos
integral duplaR(17x+130y),dA = tfrac73times(-34) = -tfrac2383

Resposta

-\tfrac{238}{3}

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