Calcule
onde
é a região que está à esquerda do eixo
e entre as circunferências
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é a região “meia-lua” à esquerda do eixo
entre as circunferências
e
. Vamos usar integrais duplas em coordenadas polares para aproveitar a simetria e a forma circular da região.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
,
e
. A região
corresponde a
e ângulos
de
até
(metade esquerda). Assim a integral vira
Passo 3
Podemos separar a integral em duas partes e fatorar o
:
Passo 4
Calculemos primeiro a parte angular:
Passo 5
Agora a parte radial:
Passo 6
Multiplicando as duas partes obtemos
Resposta
-\tfrac{238}{3}