(2,5) Calcule integral duplaR sin (y^3) d A onde R é a região limitada por y=raizx, y=3 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaRsin(y^3),dA, onde R é a região limitada pelas curvas y=raizx, y=3 e x=0. O conteúdo envolvido é integração dupla em coordenadas cartesianas e vamos precisar descrever bem a região e escolher uma ordem de integração apropriada.

Passo 2

Para caracterizar a região R, observamos que ela é formada pelos pontos que satisfazem simultaneamente
0 <= x <= y^2,
0 <= y <= 3,
ou seja,
R = (x,y) : 0 <= y <= 3,;0 <= x <= y^2
Como o integrando sin(y^3) não depende de x, vamos integrar primeiro em x e depois em y.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla de forma iterada:
integral duplaR sin(y^3),dA = integraly=0^3 l(integralx=0^y^2 sin(y^3),dxr) dy

Passo 4

Na integral interna, sin(y^3) é constante em relação a x, então
integral0^y^2 sin(y^3),dx = x sin(y^3) |0^y^2 = y^2 sin(y^3)
Logo a integral reduz-se a
integral0^3 y^2 sin(y^3),dy

Passo 5

Para calcular integral0^3 y^2 sin(y^3),dy, fazemos a substituição
u = y^3,
logo
du = 3y^2,dy Longrightarrow y^2,dy = du3
Quando y=0, u=0; quando y=3, u=27. Assim,
integral0^3 y^2 sin(y^3),dy = 13 integral0^27 sin(u),du = 13l[-cos(u)r]0^27 = 13l(1 - cos(27)r)

Resposta

1 - cos(27)3

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