Calcule
onde
é o hemisfério sólido
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral triplo
, onde
é o hemisfério sólido dado por
e
. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas cilíndricas e uso de integrais iteradas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas usamos as transformações
,
,
e o elemento de volume
. No nosso hemisfério temos os limites:
,
e
.
Passo 3
Escrevendo o integral em coordenadas cilíndricas e integrando primeiro em
dá:
Passo 4
A parte em
é imediata:
. Assim sobra o integral radial
Passo 5
Para resolver esse integral, faça a substituição
, então
. Quando
,
e quando
,
. O integral fica