(3 , 0) Calcule integral triplaH(16-x^2-y^2) d V onde H é o hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= 16, z >= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo integral triplaH(16 - x^2 - y^2),dV, onde H é o hemisfério sólido dado por x^2 + y^2 + z^2 <= 16 e z >= 0. O conteúdo principal aqui é mudança para coordenadas cilíndricas e uso de integrais iteradas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos as transformações x = rcostheta, y = rsintheta, z = z e o elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz. No nosso hemisfério temos os limites: 0 <= r <= 4, 0 <= theta <= 2pi e 0 <= z <= raiz16 - r^2.

Passo 3

Escrevendo o integral em coordenadas cilíndricas e integrando primeiro em z dá:
integral0^2piintegral0^4integral0^raiz16 - r^2(16 - r^2),r,dz,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^4(16 - r^2),rl[ z r]0^raiz16 - r^2,dr,dtheta = integral0^2piintegral0^4r(16 - r^2)raiz16 - r^2,dr,dtheta

Passo 4

A parte em theta é imediata: integral0^2pidtheta = 2pi. Assim sobra o integral radial
2piintegral0^4r(16 - r^2)^3/2,dr

Passo 5

Para resolver esse integral, faça a substituição u = 16 - r^2, então du = -2r,dr. Quando r=0, u=16 e quando r=4, u=0. O integral fica
2piintegralu=16^0(-1/2)u^3/2,du = piintegral0^16u^3/2,du = picdot25,16^5/2

Resposta

2048pi5

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