(2 , 0) Determine o volume do sólido que está abaixo do plano z=8 x+7 y e acima do retângulo R=(x, y) mid 3 <= x <= 5,1 <= y <= 2.

Passo 1

O problema pede para determinar o volume do sólido que está abaixo do plano
z = 8x + 7y
e acima do retângulo
R = (x,y) mid 3 <= x <= 5, 1 <= y <= 2
O conteúdo aqui é integrais duplas em retângulo e vamos usar a fórmula do volume sob uma superfície:
V = integral duplaR (8x + 7y),dA

Passo 2

Primeiro, integramos a função em relação a y, tratando x como constante. Calculamos:
integral1^2 (8x + 7y),dy = 8x integral1^2 dy + 7 integral1^2 y,dy = 8x(2-1) + 7[y^22]1^2 = 8x + 7(4-12) = 8x + 212

Passo 3

Agora, integramos o resultado em relação a x de 3 a 5:
integral3^5 l(8x + tfrac212r),dx = 8 [x^22]3^5 + 212(5-3) = 8 (25-92) + 21 = 8cdot8 + 21 = 85

Resposta

85

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