Calcule a integral integral duplaR x^2+x y d A onde R é a regiâo do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=4 e as retas x=0 e y=raiz33 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo e pelas retas e . Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Estamos no primeiro quadrante, então e . A fronteira de é o círculo e as retas (eixo y) e .

Passo 3

Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , e a área diferencial . O círculo vira .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de r sin thetar cos theta = raiz33 implies tan theta = raiz33 implies theta = pi6 . A reta em coordenadas polares fica:
Então, varia de a .

Passo 5

Os limites de integral0^pi6 integral0^2 ( (r cos theta)^2 + r cos theta cdot r sin theta ) r , dr , dtheta vão de até (o raio do círculo). Então, nossa integral em coordenadas polares fica:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(r cos theta)^2 + r cos theta cdot r sin theta = r^2 cos^2 theta + r^2 cos theta sin theta
Multiplicando por r^3 cos^2 theta + r^3 cos theta sin theta :

Passo 7

Agora, vamos integrar em relação a integral0^2 ( r^3 cos^2 theta + r^3 cos theta sin theta ) dr primeiro:
cos^2 theta integral0^2 r^3 dr + cos theta sin theta integral0^2 r^3 dr
Integrando termo a termo:
cos^2 theta [ r^44 ]0^2 + cos theta sin theta [ r^44 ]0^2 = cos^2 theta cdot 164 + cos theta sin theta cdot 164 = 4 cos^2 theta + 4 cos theta sin theta
Calculando as integrais de :

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral0^pi6 (4 cos^2 theta + 4 cos theta sin theta ) dtheta = 4 integral0^pi6 cos^2 theta , dtheta + 4 integral0^pi6 cos theta sin theta , dtheta

Passo 9

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral cos^2 theta , dtheta = 12 (theta + sin theta cos theta)
Segunda integral:
integral cos theta sin theta , dtheta = 12 sin^2 theta

Passo 10

Aplicando os limites:
Primeira parte:
4 cdot 12 [ theta + sin theta cos theta ]0^pi6 = 2 ( pi6 + sin pi6 cos pi6 - 0 ) = 2 ( pi6 + 12 cdot raiz32 ) = pi3 + raiz32
Segunda parte:
4 cdot 12 [ sin^2 theta ]0^pi6 = 2 ( sin^2 pi6 - 0 ) = 2 ( (12)^2 ) = 2 cdot 14 = 12

Passo 11

Somando as duas partes:
pi3 + raiz32 + 12 = pi3 + raiz3 + 12

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados