Calcule a integral
onde
é a regiâo do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo
e pelas retas
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Estamos no primeiro quadrante, então
e
. A fronteira de
é o círculo
e as retas
(eixo y) e
.
Passo 3
Para facilitar, vamos converter para coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, e a área diferencial
. O círculo
vira
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de
. A reta
em coordenadas polares fica:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Os limites de
vão de
até
(o raio do círculo). Então, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Multiplicando por
:
Passo 7
Agora, vamos integrar em relação a
primeiro:
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais de
:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Passo 9
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 10
Aplicando os limites:
Primeira parte:
Segunda parte:
Passo 11
Somando as duas partes:
Resposta
A integral
vale
.